Сьогодні буде дуже легкий урок. Ми розглянемо всього один об'єкт — бісектрису кута — і доведемо найважливішу її властивість, яка стане в нагоді нам у майбутньому.

Тільки не треба розслаблятися: іноді учні, які бажають отримати високий бал на тому ж ОДЕ або ЄДІ, на першому занятті навіть не можуть точно сформулювати визначення бісектриси.

І замість того, щоб займатися справді цікавими завданнями, ми витрачаємо час на такі прості речі. Тому читайте, дивіться і беріть на озброєння.:)

Спочатку трохи дивне питання: що таке кут? Правильно: кут — це просто два промені, що виходять із однієї точки. Наприклад:

Приклади кутів: гострий, тупий та прямий

Як видно з картинки, кути можуть бути гострими, тупими, прямими — зараз це неважливо. Часто для зручності кожному промені відзначають додаткову точку і кажуть, мовляв, перед нами кут $AOB$ (записується як $angle AOB$).

Капітан очевидність натякає, що крім променів $OA$ і $OB$ з точки $O$ завжди можна провести ще купу променів. Але серед них буде один особливий — його й називають бісектрисою.

Визначення. Бісектриса кута - це промінь, який виходить з вершини цього кута і ділить кут навпіл.

Для наведених вище кутів бісектриси виглядатимуть так:

Приклади бісектрис для гострого, тупого та прямого кута.

Оскільки на реальних кресленнях далеко не завжди очевидно, що якийсь промінь (у нашому випадку це промінь $ OM $) розбиває вихідний кут на два рівні, в геометрії прийнято помічати рівні кути однаковою кількістю дуг (у нас на кресленні це 1 дуга для гострого кута, дві – для тупого, три – для прямого).

Добре, із визначенням розібралися. Тепер потрібно зрозуміти, які властивості є у бісектриси.

Основна властивість бісектриси кута

Насправді у бісектриси купа властивостей. І ми обов'язково розглянемо їх у наступному уроці. Але є одна фішка, яку потрібно зрозуміти прямо зараз:

Теорема. Бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін даного кута.

У перекладі з математичної на російську це означає відразу два факти:

1. Будь-яка точка, що лежить на бісектрисі деякого кута, знаходиться на однаковій відстані від сторін цього кута.
2. І навпаки: якщо точка лежить на однаковій відстані від сторін даного кута, то вона гарантовано лежить на бісектрисі цього кута.

Перш ніж доводити ці твердження, давайте уточнимо один момент: а що, власне, називається відстанню від точки до боку кута? Тут нам допоможе старе-добре визначення відстані від точки до прямої:

Визначення. Відстань від точки до прямої - це довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Наприклад, розглянемо пряму $l$ і точку $A$, що не лежить на цій прямій. Проведемо перпендикуляр $AH$, де $H\in l$. Тоді довжина цього перпендикуляра і буде відстанню від точки $A$ до прямої $l$.

Графічне уявлення відстані від точки до прямої

Оскільки кут – це просто два промені, а кожен промінь – це шматок прямий, легко визначити відстань від точки до сторін кута. Це просто два перпендикуляри:

Визначаємо відстань від точки до сторін кута

От і все! Тепер ми знаємо, що таке відстань і що таке бісектриса. Тому можна доводити основну властивість.

Як і обіцяв, розіб'ємо доказ на дві частини:

1. Відстань від точки на бісектрисі до сторін кута однакові

Розглянемо довільний кут з вершиною $O$ і бісектрисою $OM$:

Доведемо, що ця точка $M$ знаходиться на однаковій відстані від сторін кута.

Доведення. Проведемо з точки $M$ перпендикуляри до сторін кута. Назвемо їх $M((H)_(1))$ і $M((H)_(2))$:

Провели перпендикуляри до сторін кута.

Отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. У них загальна гіпотенуза $OM$ і рівні кути:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ за умовою (оскільки $OM$ - бісектриса);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ по побудові;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює 90 градусів.

Отже, трикутники рівні по стороні та двом прилеглим кутам (див. ознаки рівності трикутників). Тому, зокрема, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, тобто. відстані від точки $O$ до сторін кута справді рівні. Що й потрібно було довести.:)

2. Якщо відстані рівні, то точка лежить на бісектрисі

Тепер зворотна ситуація. Нехай дано кут $O$ і точка $M$, рівновіддалена від сторін цього кута:

Доведемо, що промінь $ OM $ - бісектриса, тобто. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Доведення. Для початку проведемо цей самий промінь $ OM $, інакше доводити буде нічого:

Провели промінь $OM$ усередині кута

Знову отримали два прямокутні трикутники: $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно, що вони рівні, оскільки:

1. Гіпотенуза $ OM $ - загальна;
2. Катети $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ за умовою (адже точка $M$ рівновіддалена від сторін кута);
3. Решта катети теж рівні, т.к. за теоремою Піфагора $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Отже, трикутники $\vartriangle OM((H)_(1))$ і $\vartriangle OM((H)_(2))$ по трьох сторонах. Зокрема, рівні їх кути: $ angle MO((H)_(1))=angle MO((H)_(2))$. А це якраз і означає, що $OM$ - бісектриса.

На закінчення докази відзначимо червоними дугами рівні кути, що утворилися:

Бісектриса розбила кут $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два рівні

Як бачите, нічого складного. Ми довели, що бісектриса кута - це геометричне місце точок, рівновіддалених до сторін цього кута.:)

Тепер, коли ми більш-менш визначилися з термінологією, настав час переходити на новий рівень. У наступному уроці ми розберемо складніші властивості бісектриси і навчимося застосовувати їх для вирішення справжніх завдань.

Чи знаєш ти, що таке середина відрізку? Звісно ж знаєш. А центр кола? Теж.

А що таке середина кута?

Ти можеш сказати, що такого немає. Але чому ж відрізок можна розділити навпіл, а кут не можна? Цілком можна - тільки не крапкою, а…. лінією.

Пам'ятаєш жарт: Бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл.Так ось, справжнє визначення бісектриси дуже схоже на цей жарт:

Бісектриса трикутника- це відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з точкою на протилежній стороні.

Колись стародавні астрономи та математики відкрили дуже багато цікавих властивостей бісектриси. Ці знання спростили життя людей.

Перше знання, яке допоможе у цьому - це...

До речі, чи пам'ятаєш ти всі ці терміни? Пам'ятаєш, чим вони відрізняються один від одного? Ні? Не страшно. Зараз розберемося.

• Основа рівнобедреного трикутника- це той бік, який не дорівнює жодній іншій. Подивися на малюнок, як ти думаєш, яка це сторона? Правильно – це сторона.
• Медіана - це лінія, проведена з вершини трикутника і ділить протилежну сторону (це знову) навпіл. Зауваж, ми не говоримо: «Медіана рівнобедреного трикутника». А знаєш чому? Тому що медіана, проведена з вершини трикутника, ділить протилежну сторону навпіл у БУДЬ-ЯКОМУ трикутнику.
• Висота - це лінія, проведена з вершини та перпендикулярна до основи. Ти помітив? Ми знову говоримо про будь-який трикутник, а не тільки про рівнобедрений. Висота в будь-якому трикутнику завжди перпендикулярна основи.

Отже, розібралися? Ну майже.

Щоб ще краще зрозуміти і назавжди запам'ятати що таке бісектриса, медіана та висота, їх потрібно порівняти один з однимі зрозуміти, у чому вони схожі і чим вони відрізняються один від одного.

При цьому, щоб краще запам'ятати, краще описати все «людською мовою».

Потім ти легко оперуватимеш мовою математики, але спочатку ти цю мову не розумієш і тобі потрібно осмислити все своєю мовою.

Отже, у чому вони схожі?

Бісектриса, медіана і висота - всі вони «виходять» з вершини трикутника і впираються у протилежний бік і «щось роблять» або з кутом з якого виходять, або з протилежною стороною.

По-моєму просто, ні?

А чим вони відрізняються?

• Бісектриса ділить кут, з якого виходить, навпіл.
• Медіана ділить протилежний бік навпіл.
• Висота завжди перпендикулярна до протилежної сторони.

Тепер все. Зрозуміти – легко. А коли зрозумів, можеш запам'ятати.

Тепер наступне питання.

Чому ж у випадку з рівнобедреним трикутником бісектриса виявляється одночасно і медіаною та висотою?

Можна просто подивитися на малюнок і переконатися, що медіана розбиває на два абсолютно рівні трикутники.

От і все! Але математики не люблять вірити своїм очам. Їм треба все доводити.

Страшне слово?

Нічого подібного – все просто! Дивись: у і рівні сторони і сторона у них взагалі загальна і. (- бісектриса!) І ось, вийшло, що два трикутники мають по дві рівні сторони і кут між ними.

Згадуємо першу ознаку рівності трикутників (не пам'ятаєш, зазирни в тему) і укладаємо, що, отже = і.

Це вже добре – отже, виявилася медіаною.

А що таке?

Подивимося на картинку - . А у нас вийшло, що. Значить, і теж! Зрештою, ура! в.

Чи здався тобі цей доказ важкуватим? Подивися на картинку - два однакові трикутники говорять самі за себе.

У будь-якому випадку твердо запам'ятай:

Тепер складніше: ми порахуємо кут між бісектрисами в будь-якому трикутнику!Не бійся, все не так хитро. Дивись на малюнок:

Давай його порахуємо. Ти пам'ятаєш, що сума кутів трикутника дорівнює?

Застосуємо цей приголомшливий факт.

З одного боку, з:

Тобто.

Тепер подивимося на:

Але бісектриси, бісектриси ж!

Згадаймо про:

Тепер через літери

Чи не дивно?

Вийшло, що кут між бісектрисами двох кутів залежить тільки від третього кута.!

Ну ось, дві бісектриси ми подивилися. А що, якщо їх три?!! Чи перетнуться вони всі в одній точці?

Чи буде так?

Як ти думаєш? Ось математики думали-думали та довели:

Щоправда, здорово?

Хочеш знати, чому так виходить?

Переходь на наступний рівень - ти готовий до підкорення нових вершин знань про бісектрису!

БІСЕКТРИСА. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Пам'ятаєш, що таке бісектриса?

Бісектриса - це лінія, яка ділить кут навпіл.

Тобі зустрілася в задачі бісектриса? Намагайся застосувати одну (а іноді можеш і кілька) з наступних приголомшливих властивостей.

1. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику.

Чи не боїшся слова «теорема»? Якщо боїшся, то дарма. Теорема математики звикли називати будь-яке твердження, яке можна якось вивести з інших, більш простих тверджень.

Так ось, увага, теорема!

Доведемоцю теорему, тобто зрозуміємо, чому так виходить? Подивися на рівнобедрений.

Давай подивимось на них уважно. І тоді побачимо, що

1. - загальна.

А це означає (скоріше згадуй першу ознаку рівності трикутників!), що.

Ну і що? Хочеться тобі сказати? А те, що ми ще не дивилися на треті сторони і кути цих трикутників, що залишилися.

А ось тепер побачимо. Раз, то зовсім точно і навіть на додачу, .

Ось і вийшло, що

1. розділила бік навпіл, тобто виявилася медіаною
2. , А значить, вони обидва, оскільки (глянь ще раз на малюнок).

Ось і виявилася бісектриса і висотою теж!

Ура! Довели теорему. Але уявляєш, це ще не все. Вірна ще й зворотна теорема:

Доведення? Невже тобі цікаво? Читай наступний рівень теорії!

А якщо нецікаво, то твердо запам'ятай:

Навіщо це твердо запам'ятовувати? Як це може допомогти? А ось уяви, що в тебе завдання:

Дано: .

Знайти: .

Ти тут же розумієш, бісектриса і, о диво, вона розділила бік навпіл! (за умовою…). Якщо ти твердо пам'ятаєш, що таке буває тількив рівнобедреному трикутнику, то робиш висновок, що означає, пишеш відповідь: . Здорово, правда? Звичайно, не у всіх завданнях буде так легко, але знання обов'язково допоможе!

А тепер така властивість. Готовий?

2. Бісектриса кута - геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.

Злякався? Насправді, нічого страшного. Ледачі математики у двох рядках сховали чотири. Отже, що ж означає, «Бісектриса - геометричне місце точок»? А це означає, що виконуються одразу двазатвердження:

1. Якщо точка лежить на бісектрисі, то відстані від неї до сторін кута рівні.
2. Якщо якась точка відстані до сторін кута дорівнює, то ця точка обов'язковолежить на бісектрисі.

Бачиш різницю між твердженнями 1 та 2? Якщо не дуже, то згадай Капелюшника з «Аліси в країні чудес»: "Так ти ще чого доброго скажеш, ніби "Я бачу те, що їм" і "Я їм те, що бачу" - одне й те саме!

Отже, нам потрібно довести твердження 1 та 2, і тоді твердження: "бісектриса - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута" буде доведено!

Чому ж правильно 1?

Візьмемо будь - яку точку на бісектрисі і назвемо її .

Опустимо з цієї точки перпендикуляри та на сторони кута.

А тепер … приготувалися згадувати ознаки рівності прямокутних трикутників! Якщо ти їх призабув, то заглянь у розділ .

Отже…два прямокутні трикутники: і. У них:

• Загальна гіпотенуза.
• (Бо - бісектриса!)

Значить, - по куту та гіпотенузі. Тому й відповідні катети у цих трикутників – рівні! Тобто.

Довели, що точка однаково (або одно) віддалена від сторін кута. З пунктом 1 розібралися. Тепер перейдемо до пункту 2.

Чому ж вірно 2?

І з'єднаємо точки в.

Значить, тобто лежить на бісектрисі!

От і все!

Як же все це застосувати під час вирішення завдань? Ось наприклад, у завданнях часто буває така фраза: «Кількість стосується сторін кута….». Ну і знайти треба щось.

То швидко розумієш, що

І можна скористатися рівністю.

3. Три бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці

З якості бісектриси бути геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, випливає таке твердження:

Як саме витікає? А ось дивись: дві бісектриси точно перетнуться, правда?

А третя бісектриса могла б пройти так:

Але насправді все набагато краще!

Давай розглянемо точку перетину двох бісектрис. Назвемо її.

Що ми тут обидва рази застосовували? Так пункт 1, звичайно ж! Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона однаково віддалена від сторін кута.

Ось і вийшло в.

Але глянь уважно на ці дві рівності! Адже їх слід, що й, отже, .

А ось тепер у справу піде пункт 2: якщо відстані до сторін кута рівні, то точка лежить на бісектрисі ... якого ж кута? Ще раз дивись на картинку:

і - відстані до сторін кута, і вони рівні, отже, точка лежить на бісектрисі кута. Третя бісектриса пройшла через ту саму точку! Всі три бісектриси перетнулися в одній точці! І, як додатковий подарунок

Радіуси вписаноюкола.

(Для вірності подивися ще тему).

Ну ось, тепер ти ніколи не забудеш:

Точка перетину бісектрис трикутника - центр вписаного в неї кола.

Переходимо до наступної властивості… Ух і багато властивостей у бісектриси, правда? І це чудово, тому що, чим більше властивостей, тим більше інструментів для вирішення задач про бісектрису.

4. Бісектриса та паралельність, бісектриси суміжних кутів

Той факт, що бісектриса ділить кут навпіл, у якихось випадках призводить до зовсім несподіваних результатів. Ось наприклад,

Випадок 1

Здорово, правда? Давай зрозуміємо чому так.

З одного боку, - ми ж проводимо бісектрису!

Але, з іншого боку, - як навхрест кути, що лежать (згадуємо тему).

І тепер виходить, що; викидаємо середину: ! - рівнобедрений!

Випадок 2

Уяви трикутник (або подивися на картинку)

Давай продовжимо бік за крапку. Тепер вийшло два кути:

• - внутрішній кут
• - Зовнішній кут - він же зовні, вірно?

Так от, а тепер комусь захотілося провести не одну, а одразу дві бісектриси: і для, і для. Що ж вийде?

А вийде прямокутний!

Дивно, але це так.

Розбираємось.

Як ти думаєш, чому дорівнює сума?

Звичайно ж, адже вони всі разом складають такий кут, що виходить пряма.

А тепер пригадаємо, що і -бісектриси і побачимо, що всередині кута знаходиться рівно половинавід суми всіх чотирьох кутів: і - тобто рівно. Можна написати і рівнянням:

Отже, неймовірно, але факт:

Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кута трикутника дорівнює.

Випадок 3

Бачиш, що тут так само, як і для внутрішнього і зовнішнього кутів?

Або ще раз подумаємо, чому так виходить?

Знову, як і для суміжних кутів,

(як відповідні за паралельних підставах).

І знову, складають рівно половинувід суми

Висновок:Якщо в завданні зустрілися бісектриси суміжнихкутів або бісектриси відповіднихкутів паралелограма або трапеції, то в цьому завданні неодміннобере участь прямокутний трикутник, а може навіть цілий прямокутник.

5. Бісектриса та протилежна сторона

Виявляється, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону не якось, а спеціальним і дуже цікавим чином:

Тобто:

Дивний факт, чи не так?

Зараз ми цей факт доведемо, але приготуйся: буде трохи важче, ніж раніше.

Знову – вихід у «космос» – додаткова побудова!

Проведемо пряму.

Навіщо? Зараз побачимо.

Продовжимо бісектрису до перетину з прямою.

Знайоме зображення? Так-так-так, так само, як у пункті 4, випадок 1 - виходить, що (- бісектриса)

Як навхрест лежать

Значить, це теж.

А тепер подивимося на трикутники в.

Що про них можна сказати?

Вони... подібні. Так, у них і кути рівні як вертикальні. Значить, по двох кутках.

Наразі маємо право писати відносини відповідних сторін.

А тепер у коротких позначеннях:

Ой! Щось нагадує, правда? Чи не це ми хотіли довести? Так-так, саме це!

Бачиш, як чудово виявив себе «вихід у космос» - побудова додаткової прямої - без неї нічого б не вийшло! А так ми довели, що

Тепер можеш сміливо використати! Розберемо ще одну властивість бісектрис кутів трикутника – не лякайся, тепер найскладніше скінчилося – буде простіше.

Отримуємо, що

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Теорема. Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC (рис. 259) та бісектрису його кута В. Проведемо через вершину С пряму СМ, паралельну бісектрисі ВК, до перетину в точці М із продовженням сторони АВ. Так як ВК - бісектриса кута ABC, то . Далі, як відповідні кути при паралельних прямих, і як навхрест кути, що лежать при паралельних прямих. Звідси і тому – рівнобедрений, звідки. По теоремі про паралельні прямі, що перетинають сторони кута, маємо на увазі отримаємо, що і потрібно довести.

Бісектриса зовнішнього кута В ​​трикутника ABC (рис. 260) має аналогічну властивість: відрізки AL і CL від вершин А і С до точки L перетину бісектриси з продовженням сторони АС пропорційні сторонам трикутника:

Ця властивість доводиться так само, як і попередня: на рис. 260 проведена допоміжна пряма СМ, ​​паралельна бісектрисі BL. Читач сам переконається у рівності кутів ВМС та ВСМ, а значить, і сторін ВМ та ВС трикутника ВМС, після чого потрібна пропорція вийде одразу.

Можна говорити, як і бісектриса зовнішнього кута ділить протилежну сторону частини, пропорційні прилеглим сторонам; Необхідно лише домовитися допускати «зовнішнє розподіл» відрізка.

Точка L, що лежить поза відрізком АС (на його продовженні), ділить його зовнішнім чином щодо якщо Отже, бісектриси кута трикутника (внутрішнього та зовнішнього) ділять протилежну сторону (внутрішнім та зовнішнім чином) на частини, пропорційні прилеглим сторонам.

Задача 1. Бічні сторони трапеції дорівнюють 12 і 15, основи дорівнюють 24 і 16. Знайти сторони трикутника, утвореного великою основою трапеції та її продовженими бічними сторонами.

Рішення. У позначках рис. 261 маємо для відрізка службовця продовженням бокової сторони пропорцію, звідки легко знаходимо. Аналогічним способом визначаємо другу бічну сторону трикутника Третя сторона збігається з великою основою: .

Завдання 2. Підстави трапеції дорівнюють 6 і 15. Чому дорівнює довжина відрізка, паралельного основам і ділить бічні сторони щодо 1:2, рахуючи від вершин малої основи?

Рішення. Звернемося до рис. 262, що зображує трапецію. Через вершину З малої основи проведемо лінію, паралельну бічній стороні АВ, що відсікає від трапеції паралелограм. Так як, то звідси знаходимо. Тому весь невідомий відрізок KL дорівнює Зауважимо, що для вирішення цього завдання нам не потрібно знати сторони трапеції.

3адача 3. Бісектриса внутрішнього кута В ​​трикутника ABC розтинає сторону АС на відрізки на якій відстані від вершин А і С перетне продовження АС бісектриса зовнішнього кута В?

Рішення. Кожна з бісектрис кута В ​​ділить АС в тому самому відношенні, але одна внутрішнім, а інша зовнішнім чином. Позначимо через L точку перетину продовження АС та бісектриси зовнішнього кута В. Так як АК Позначимо невідому відстань AL через тоді і ми матимемо пропорцію Рішення якої і дає нам відстань, яку шукає

Малюнок виконайте самостійно.

Вправи

1. Трапеція з основами 8 і 18 розбита прямими, паралельними основам, на шість смуг рівної ширини. Знайти довжини відрізків прямих, що розбивають трапецію на смуги.

2. Периметр трикутника дорівнює 32. Бісектриса кута А ділить сторону ВС на частини, рівні 5 та 3. Знайти довжини сторін трикутника.

3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює а, бічна сторона b. Знайти довжину відрізка, що з'єднує точки перетину бісектрис кутів основи з бічними сторонами.

І знову здрастуйте! Перше, що я хочу вам показати в цьому відео, – у чому полягає теорема про бісектрису, друге – навести вам її доказ. Отже, ми маємо довільний трикутник, трикутник АВС. І я збираюся намалювати бісектрису ось цього верхнього кута. Це можна зробити для будь-якого з трьох кутів, але я вибрала верхній (це трохи спростить доказ теореми). Так, проведемо бісектрису цього кута, АВС. І тепер ось цей, лівий, кут дорівнює цьому, правому, кутку. Точку перетину бісектриси зі стороною АС давайте назвемо D. Теорема про бісектрису говорить про те, що співвідношення сторін, відокремлених цією бісектрисою... Ну, бачите: я провела бісектрису - і з великого трикутника АВС вийшли два менші трикутники. Так ось, за теоремою про бісектрису, співвідношення між двома іншими сторонами цих менших трикутників (тобто не включаючи бік-бісектрису) будуть рівні. Тобто. ця теорема говорить про те, що відношення АВ/AD дорівнюватиме відношенню BC/CD. Відзначу це різними кольорами. Відношення АВ (ось цієї сторони) до AD (до цієї сторони) дорівнюватиме відношенню ВС (цієї сторони) до CD (до цієї сторони). Цікаво! Відношення цієї сторони до цієї рівно відношенню цієї сторони до цієї... Відмінний результат, але ви навряд чи повірите мені на слово і захочете точно, щоб ми собі це довели. І, може, ви здогадалися, що якщо тепер у нас є деякі встановлені співвідношення сторін, то доводити теорему ми будемо, використовуючи подібність трикутників. На жаль для нас, ці два трикутники не обов'язково є подібними. Ми знаємо, що ці два кути рівні, але не знаємо, наприклад, чи цей кут (BAD) дорівнює цьому (BCD). Не знаємо та не можемо робити таких припущень. Щоб встановити таку ось рівність, нам, можливо, потрібно буде побудувати ще один трикутник, який буде подібний до одного з трикутників на цьому малюнку. І один спосіб це зробити провести ще одну лінію. Зізнатися, цей доказ був незрозумілим для мене, коли я вперше вивчала цю тему, тож якщо він зараз незрозумілий для вас – нічого страшного. Що, якщо ми продовжимо цю бісектрису ось цього кута? Давайте продовжимо її... Допустимо, вона продовжується нескінченно. Може, вдасться побудувати трикутник, подібний до цього трикутника, BDA, якщо ми проведемо тут внизу лінію, паралельну АВ? Спробуймо це зробити. За властивістю паралельних прямих, якщо точка не належить відрізку АВ, то через точку З завжди можна провести лінію, паралельну відрізку АВ. Тоді проведемо тут ще один відрізок. Назвемо цю точку F. І припустимо, що цей відрізок FC паралельний відрізку АВ. Відрізок FC паралельний відрізку АВ... Запишу це: FC паралельний AB. І тепер у нас є кілька цікавих моментів. Провівши відрізок, паралельний відрізку АВ, ми побудували трикутник, подібний до трикутника BDA. Погляньмо, як це вийшло. Перед тим, як говорити про подібність, давайте спочатку подумаємо, що ми знаємо про деякі кути, що тут утворилися. Ми знаємо, що тут є внутрішні навхрест лежачі кути. Взяти б ті ж паралельні лінії ... Ну, можна уявити собі, що АВ триває нескінченно і FC триває нескінченно. А відрізок BF у цьому випадку – це січна. Тоді яким би не був цей кут, ABD, цей кут, CFD, буде йому (за якістю внутрішніх навхрест лежачих кутів). Багато разів ми стикалися з такими кутами, коли говорили про кути, утворені при перетині паралельних прямих січень. Отже, ці два кути будуть рівними. Але цей кут, DBC, і цей CFD, також будуть рівні, т.к. кути ABD та DBC рівні. Адже BD - це бісектриса, а значить, кут ABD дорівнює куту DBC. Отже, якими б не були ці два кути, кут CFD дорівнюватиме їм. І це призводить до цікавого результату. Тому що виходить, ось у цьому більшому трикутнику BFC кути при підставі рівні. А це, своєю чергою, означає, що трикутник BFC рівнобедрений. Тоді сторона ВС повинна дорівнювати стороні FC. НД повинна дорівнювати FC. Чудово! Ми використовували властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів, утворених січучою, щоб показати, що трикутник BFC рівнобедрений і, отже, сторони НД та FC рівні. І це може стати у нагоді, т.к. ми знаємо, що... Ну, якщо не знаємо, то принаймні відчуваємо, що ці два трикутники виявляться подібними. Ми ще цього не довели. Але як те, що ми щойно довели, може допомогти нам щось дізнатися про сторону ЗС? Ну, ми тільки що довели, що сторона НД дорівнює стороні FC. Якщо зможемо довести, що відношення АВ/AD дорівнює відношенню FC/CD, вважайте, що справа зроблена, адже ми щойно довели, що ВС = FC. Але давайте не звертатимемося до теореми – давайте прийдемо до неї в результаті доказу. Отже, те, що відрізок FC є паралельним АВ, допомогло нам з'ясувати, що трикутник BFC є рівнобедреним, і його бічні сторони ВС і FC рівні. Тепер розглянемо тут інші кути. Якщо глянути на трикутник ABD (ось цей) і трикутник FDC, то ми вже з'ясували, що вони мають одну пару рівних кутів. Але також цей кут трикутника ABD є вертикальним по відношенню до цього куту трикутника FDC – це означає, що ці кути рівні. І ми знаємо, що якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого (ну, тоді і треті відповідні кути також будуть рівні), то за ознакою подібності трикутників по двох кутах можна зробити висновок, що ці два трикутники подібні. Запишу це. І треба стежити, щоб під час запису вершини відповідали одна одній. Отже, за ознакою подібності по двох кутах ми знаємо... І я почну з кута, позначеного зеленим. Ми знаємо, що трикутник В... Потім переходжу до кута, позначеного синім... Трикутник BDA подібний до трикутника... І знову починаємо з кута, позначеного зеленим: F (потім переходимо до кута, позначеного синім)... Подібний трикутнику FDC. А тепер повернемося до теореми про бісектрису. Нас цікавить співвідношення сторін AB/AD. Відношення AB до AD... Як ми знаємо, співвідношення відповідних сторін подібних трикутників рівні. Або можна було б знайти співвідношення двох сторін одного такого трикутника і порівняти його із співвідношенням відповідних сторін іншого такого трикутника. Вони також мають бути рівними. Отже, оскільки трикутники BDA і FDC подібні, то відношення АВ... Ну, до речі, трикутники подібні до двох кутів, так і запишу тут. Т.к. трикутники подібні, то ми знаємо, що відношення AB/AD буде рівним... І можемо подивитися сюди, на затвердження подібності, щоб знайти відповідні сторони. Сторона, що відповідає АВ – це сторона CF. Тобто. AB/AD і CF розділити на... Стороні AD відповідає сторона CD. Отже, CF/CD. Отже, вийшло таке співвідношення: AB/AD=CF/CD. Але ми вже довели, що (оскільки трикутник BFC - рівнобедрений) CF дорівнює ВС. Отже, тут можна CF замінити на НД. Ось, що потрібно було довести. Ми довели, що AB/AD=ВС/CD. Отже, щоб довести цю теорему, потрібно, по-перше, збудувати ще один, ось цей трикутник. І припускаючи, що відрізки АВ і CF паралельні, можна отримати два відповідні рівні кути двох трикутників – це, у свою чергу, свідчить про подібність трикутників. Після побудови ще одного трикутника крім того, що тут є два подібні трикутники, ми ще й зможемо довести, що цей, більший, трикутник є рівнобедреним. А потім можна сказати: співвідношення між цією і цією стороною одного такого трикутника дорівнює співвідношенню відповідних сторін (цієї і цієї) іншого такого трикутника. І це означає, що ми довели, що співвідношення між цією стороною і цією дорівнює відношенню BC/CD. Що й потрібно було довести. До зустрічі!

На даному уроці ми докладно розглянемо, які властивості мають точки, що лежать на бісектрисі кута, і точки, які лежать на серединному перпендикулярі до відрізка.

Тема: Окружність

Урок: Властивості бісектриси кута та серединного перпендикуляра до відрізка

Розглянемо властивості точки, що лежить на бісектрисі кута (див. рис. 1).

Мал. 1

Заданий кут, його бісектриса AL, точка М лежить на бісектрисі.

Теорема:

Якщо точка М лежить на бісектрисі кута, вона рівновіддалена від сторін кута, тобто відстані від точки М до АС і до ВС сторін кута рівні.

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, а кути і рівні, тому що AL - бісектриса кута. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та гострому куту, звідси випливає, що , що потрібно було довести. Таким чином, точка на бісектрисі кута рівновіддалена від сторін цього кута.

Справедлива зворотна теорема.

Якщо точка рівновіддалена від сторін нерозгорнутого кута, вона лежить на його бісектрисі.

Мал. 2

Заданий нерозгорнутий кут, точка М, така, що відстань від неї до сторін кута однакова (див. мал. 2).

Довести, що точка М лежить на бісектрисі кута.

Доведення:

Відстань від точки до прямої є довжиною перпендикуляра. Проведемо з точки М перпендикуляри МК до сторони АВ та МР до ​​сторони АС.

Розглянемо трикутники та . Це прямокутні трикутники, вони рівні, т.к. мають загальну гіпотенузу АМ, катети МК та МР рівні за умовою. Таким чином, прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та катету. З рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів, проти рівних катетів лежать рівні кути, таким чином, , Отже, точка М лежить на бісектрисі даного кута.

Пряму та зворотну теореми можна об'єднати.

Теорема

Бісектриса нерозгорнутого кута є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін даного кута.

Теорема

Бісектриси АА 1 , ВР 1 , СС 1 трикутника перетинаються в одній точці (див. рис. 3).

Мал. 3

Доведення:

Розглянемо спочатку дві бісектриси ВР 1 і СС 1 . Вони перетинаються, точка перетину існує. Щоб довести це, припустимо неприємне - нехай дані бісектриси не перетинаються, у такому разі вони паралельні. Тоді пряма НД є січною, і сума кутів , це суперечить тому, що у всьому трикутнику сума кутів.

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін ВА та НД. Якщо ОК - перпендикуляр до НД, OL - перпендикуляр до ВА, то довжини цих перпендикулярів дорівнюють - . Також точка Про лежить на бісектрисі кута і рівновіддалена від його сторін CВ та СА, перпендикуляри ОМ та ОК рівні.

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Нас цікавить рівність перпендикулярів OL та ОМ. Ця рівність говорить про те, що точка О рівновіддалена від сторін кута, звідси випливає, що вона лежить на його бісектрисі АА 1 .

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Перейдемо до розгляду відрізка, його серединного перпендикуляра та властивості точки, що лежить на серединному перпендикулярі.

Заданий відрізок АВ, р – серединний перпендикуляр. Це означає, що пряма р проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна до нього.

Теорема

Мал. 4

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка (див. рис. 4).

Довести, що

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні та рівні, т.к. мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ВВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних за двома катетами. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто те, що потрібно довести.

Зауважимо, що відрізок АВ є загальною хордою для багатьох кіл.

Наприклад, перше коло з центром у точці М і радіусом МА та МВ; друге коло з центром у точці N, радіусом NA та NB.

Таким чином, ми довели, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі до відрізка, вона рівновіддалена від кінців відрізка (див. рис. 5).

Мал. 5

Справедлива зворотна теорема.

Теорема

Якщо деяка точка М рівновіддалена від кінців відрізка, вона лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Задано відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка (див. рис. 6).

Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі до відрізка.

Мал. 6

Доведення:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже, прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Теорема

Серединний перпендикуляр до відрізка є геометричним місцем точок, рівновіддалених від його кінців.

Трикутник, як відомо, складається з трьох відрізків, отже, в ньому можна провести три серединні перпендикуляри. Виявляється, що вони перетинаються в одній точці.

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри до його сторін: Р 1 до сторони ПС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ (див. мал. 7).

Довести, що перпендикуляри Р 1 Р 2 і Р 3 перетинаються в точці О.