Вони всі різні. Наприклад, 2, 67, 354, 1009. Докладно розглянемо ці числа.
2 складається з однієї цифри, тому таку кількість називають, однозначним числом. Ще приклад однозначних чисел: 3, 5, 8.
67 складається з двох цифр, тому таке число називають, двозначним числом. Приклад двоцифрових чисел: 12, 35, 99.
Тризначні числаскладаються із трьох цифр, наприклад: 354, 444, 780.
Чотиризначні числаскладаються із чотирьох цифр, наприклад: 1009, 2600, 5732.

Двозначні, тризначні, чотиризначні, п'ятизначні, шестизначні і т.д. числа, називаються, багатозначними числами.

Розряди чисел.

Розглянемо число 134. Кожна цифра цього числа має своє місце. Такі місця, називаються, розрядами.

Цифра 4 займає місце чи розряд одиниць. Також цифру 4 можна назвати цифрою першого розряду.
Цифра 3 займає місце чи розряд десятків. Або цифру 3 можна назвати цифрою другого розряду.
І цифра 1 займає кілька сотень. По-іншому, цифру 1 можна назвати цифрою третього розряду.Цифра 1 є останньою цифрою слави числа 134, тому цифру 1 можна назвати цифрою вищого розряду. Цифра вищого розряду завжди більша за 0.

Кожні 10 одиниць будь-якого розряду утворюють нову одиницю вищого розряду. 10 одиниць утворюють один розряд десяток, десять десятків утворюють один розряд сотень, десять сотень утворюють розряд тисяч і т.д.
Якщо немає якогось розряду, то замість нього стоятиме 0.

Наприклад: число 208.
Цифра 8 – перший розряд одиниць.
Цифра 0 – другий розряд десятків. 0 означає у математиці нічого. З запису випливає, що десятків цього числа немає.
Цифра 2 – третій розряд сотень.

Такий аналіз числа називається розрядним складом числа.

Класи.

Багатозначні числа розбивають на групи три цифри справа наліво. Такі групи цифр називають класів.Перший клас справа називається класом одиниць, другий називається класом тисяч, третій – класом мільйонів, четвертий – класом мільярдів,п'ятий – класом трильйонів, шостий – класом квадрільйонів, сьомий – класом квінтільйонів, восьмий – класом секстильйонів.

Клас одиниць– перший клас праворуч із кінця три цифри складається з розряду одиниць, розряду десятків та розряду сотень.
Клас тисяч– другий клас складається з розряду: одиниць тисяч, десятків тисяч та сотень тисяч.
Клас мільйонів- Третій клас складається з розряду: одиниць мільйонів, десятків мільйонів і сотень мільйонів.

Розберемо приклад:
У нас є число 13562006891.
Це число має 891 одиниць у класі одиниць, 6 одиниць у класі тисяч, 562 одиниць у класі мільйонів та 13 одиниць у класі мільярдів.

13 мільярдів 562 мільйони 6 тисяч 891.

Сума розрядних доданків.

Будь-яке різне розряди можна розкласти на суму розрядних доданків. Розглянемо приклад:
Число 4062 розпишемо на розряди.

4 тисяч 0 сотень 6 десятків 2 одиниць чи інакше можна записати

4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2

Наступний приклад:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0

Щоб запам'ятати, скільки зібрали врожаю чи скільки зірок на небі люди вигадали символи. У різних місцевостях ці символи були різними.

Але з розвитком торгівлі, щоб розуміти позначення іншого народу, люди почали користуватися найзручнішими символами. Ми, наприклад, користуємось арабськимисимволи. А арабськими вони називаються тому, що європейці їх впізнали від арабів. А ось араби ці символи впізнали від індійців.

Символи, які використовуються для запису чисел, називаються цифрами .

Слово цифра походить від арабської назви числа 0 (сифр). Це дуже цікава цифра. Вона називається незначноюі означає відсутність чогось.

На малюнку ми бачимо тарілку, де лежить 3 яблука, і порожню тарілку, де немає яблук. Що стосується порожній тарілкою ми можемо сказати, що у ній 0 яблук.

Інші цифри: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називаються значущими .

Розрядні одиниці

Система зчислення , Якою ми користуємося, називається десятковий. Тому що саме 10 одиниць одного розряду становить одну одиницю наступного розряду.

Ми вважаємо одиницями, десятками, сотнями, тисячами тощо. Це і є розрядні одиниці нашої системи числення.

10 одиниць – 1 десяток (10)

10 десятків – 1 сотня (100)

10 сотень – 1 тисяча (1000)

10 разів по 1 тисячі – 1 десяток тисяч (10 000)

10 десятків тисяч – 100 тисяч (100 000) тощо…

Розряд це місце цифри у записі числа.

Наприклад, у числі 12 два розряди: розряд одиниць складається з 2 одиниць, розряд десятків складається з одного десятка.

Ми говорили про те, що 0 – незначна цифра, яка означає відсутність чогось. У числах цифра 0 означає відсутність одиниць у розряді.

У числі 190 цифра 0 свідчить про відсутність розряду одиниць. У числі 208 цифра 0 свідчить про відсутність розряду десятків. Такі числа називаються неповними .

А числа, у розрядах яких немає нулів, називаються повними .

Розряди вважають праворуч наліво:

Зрозуміліше буде, якщо зобразити розрядну сітку так:

1. В числі 2375 :

5 одиниць першого розряду, або 5 одиниць

7 одиниць другого розряду, або 7 десятків

3 одиниці третього розряду, або 3 сотні

2 одиниці четвертого розряду, або 2 тисячі

Вимовляється це число так: дві тисячі триста сімдесят п'ять

1. В числі 1000462086432

2 одиниці

3 десятки

8 десятків тисяч

0 сотень тисяч

2 одиниці мільйонів

6 десятків мільйонів

4 сотні мільйонів

0 одиниць мільярдів

0 десятків мільярдів

0 сотень мільярдів

1 одиниця трильйонів

Вимовляється це число так: один трильйон чотириста шістдесят два мільйони вісімдесят шість тисяч чотириста тридцять два .

1. В числі 83 :

3 одиниці

8 десятків

Вимовляється так: вісімдесят три .

Розрядними,називають числа, що складаються з одиниць лише одного розряду:

Наприклад, числа 1, 3, 40, 600, 8000 – розрядні, у таких числах нулів (незначної цифри) може бути скільки завгодно чи зовсім, а значна цифра лише одна.

Інші числа, наприклад: 34, 108, 756 і так далі, нерозрядні , їх називають алгоритмічними.

Нерозрядні числа можна як суми розрядних доданків.

Наприклад, число 6734 можна уявити так:

6000 + 700 + 30 + 4 = 6734

За допомогою цього уроку ми вивчимо розряди рахункових доданків. Спочатку повторимо співвідношення лічильних одиниць. Згадаймо, що таке розряди, до якого розряду належать сотні, десятки та одиниці. Вирішимо багато різноманітних та цікавих завдань на закріплення матеріалу. Після цього уроку ви легко визначите, до якого розряду відносять одиниці, десятки та сотні у тризначному числі. Ви також легко переводите одиниці вимірювання довжини в більш дрібні або більші значення. Не втрачайте жодної хвилини. Вперед - вчитися та осягати нові горизонти!

При записі числа кожна лічильна одиниця записується своєму місці (табл. 1).

Таблиця 1. Запис трицифрових чисел

Розряди вважаються праворуч наліво, починаючи з першого розряду - одиниці. Другий розряд – десятки. І третій розряд – сотні.

Запишіть числа, відкладені на рахунках (мал. 2, 3, 4) та прочитайте їх.

Мал. 2. Числа

Мал. 4. Числа

Мал. 3. Числа

Рішення: 1. На рахунках відкладено сім одиниць, два десятки та три сотні. Виходить число триста двадцять сім.

2. У наступному числі (рис. 3) одиниці відсутні. Якщо немає розряду, можна поставити нуль. Усе число – триста двадцять.

3. На малюнку 4 у числі сім одиниць немає десятків і три сотні. Виходить число триста сім.

2. У другій величині п'ятсот сорок сантиметрів. У цьому числі 5 сотень – 5 м та 4 десятки – 4 дм, а одиниці відсутні, отже, сантиметрів не буде.

540 см = 5 м 4 дм

3. Вісімдесят шість міліметрів. В одному сантиметрі десять міліметрів, отже, у цій величині буде вісім сантиметрів та шість міліметрів.

86 мм = 8 см 6 мм

4. В останньому числі (42 дм) видно чотири десятки і відомо, що в 1 м – 10 дм.

42 дм = 4 м 2 дм

Виразіть дані величини в дрібніших одиницях виміру:

2. 2 дм 8 мм

Рішення: 1. Для вирішення завдання скористаємося малюнком 5, на якому зображено взаємозв'язок між одиницями виміру довжини.

1 м 75 см = 175 см

2. Перекладемо друге число.

2 дм 8 мм = 208 мм

Список літератури

1. Математика. 3 клас. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова та ін.] - 2-ге вид. – К.: Просвітництво, 2012. – 112 с.: іл. - (Школа Росії).
2. Рудницька В.М., Юдачева Т.В. Математика, 3 клас. - М: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 клас. - М: Ювента.

1. All-schools.pp.ua ().
2. Urokonline.com ().
3. Uchu24.ru ().

Домашнє завдання

1. Математика. 3 клас. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 2/[М.І. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова та ін.] - 2-ге вид. - М: Просвітництво, 2012., стор 44, 45 № 1-7.
2. Виразіть у міліметрах

Наш перший урок називався числа. Ми розглянули лише малу частину цієї теми. Насправді тема чисел досить велика. У ній багато тонкощів та нюансів, багато хитрощів та цікавих фішок.

Сьогодні ми продовжимо тему чисел, але знову ж таки не розглядатимемо її всю, щоб не ускладнювати навчання зайвою інформацією, яка спочатку не особливо те й потрібна. Ми поговоримо про розряди.

Зміст уроку

Що таке розряд?

Якщо говорити простою мовою, то розряд це позиція цифри в числі місця, де розташовується цифра. Візьмемо для прикладу число 635. Це число складається із трьох цифр: 6, 3 та 5.

Позиція, де знаходиться цифра 5, називається розрядом одиниць

Позиція, де знаходиться цифра 3, називається розрядом десятків

Позиція, де знаходиться цифра 6, називається розрядом сотень

Кожен із нас чув зі школи такі речі як «одиниці», «десятки», «сотні». Розряди, крім того, що відіграють роль позиції цифри в числі, повідомляють нам деяку інформацію про число. Зокрема розряди повідомляють нам вагу числа. Вони повідомляють скільки одиниць, скільки десятків і скільки сотень.

Повернемося до нашого числа 635. У розряді одиниць розміщується п'ятірка. Що це говорить? А каже це про те, що розряд одиниць містить п'ять одиниць. Виглядає це так:

У розряді десятків розташовується трійка. Це говорить про те, що розряд десятків містить три десятки. Виглядає це так:

У розряді сотень розташовується шістка. Це свідчить, що у розряді сотень розташовуються шість сотень. Виглядає це так:

Якщо скласти число одиниць, число десятків і число сотень, що виходять, то отримаємо наше початкове число 635

Існують і старші розряди такі як розряд тисяч, розряд десятків тисяч, розряд сотень тисяч, розряд мільйонів тощо. Такі великі числа ми розглядатимемо рідко, проте про них теж бажано знати.

Наприклад, в числі 1645832 розряд одиниць містить 2 одиниці, розряд десятків - 3 десятки, розряд сотень - 8 сотень, розряд тисяч - 5 тисяч, розряд десятків тисяч - 4 десятки тисяч, розряд сотень тисяч - 6 сотень тисяч, розряд мільйонів - 1 мільйон.

На перших етапах вивчення розрядів бажано розбиратися скільки одиниць, десятків, сотень містить те чи інше число. Наприклад, число 9 містить дев'ять одиниць. Число 12 містить дві одиниці та один десяток. Число 123 містить три одиниці, два десятки та одну сотню.

Угруповання предметів

Після підрахунку якихось предметів, розряди можна використовуватиме групування цих предметів. Наприклад, якщо ми нарахували у дворі 35 цегли, можна використовувати розряди для угруповання цієї цегли. У разі угруповання предметів, розряди можна читати зліва направо. Так, цифра 3 у числі 35 говоритиме про те, що в числі 35 міститься три десятки. А це означає, що 35 цеглин можна згрупувати тричі по десять штук.

Отже, згрупуємо цеглу тричі по десять штук:

Вийшло тридцять цеглин. Але лишилося ще п'ять одиниць цегли. Їх ми назвемо як "п'ять одиниць"

Вийшло три десятки та п'ять одиниць цегли.

А якби ми не стали групувати цеглу на десятки та одиниці, то можна було б сказати, що число 35 містить 35 одиниць. Таке угруповання теж було б допустимим:

Аналогічно можна розмірковувати й інші числа. Наприклад, про число 123. Раніше ми сказали, що це число містить три одиниці, два десятки та одну сотню. Але можна сказати, що це число містить 123 одиниці. Більш того, можна згрупувати це число та іншим чином, сказавши, що воно містить 12 десятків і 3 одиниці.

Слова одиниці, десятки, сотні, Замінюють собою множинні 1, 10 і 100. Наприклад, у розряді одиниць числа 123 розташовується цифра 3. За допомогою множиного 1 можна записати, що ця одиниця міститься в розряді одиниць три рази:

100 × 1 = 100

Якщо скласти отримані результати 3, 20 та 100, то отримаємо число 123

3 + 20 + 100 = 123

Те саме буде відбуватися якщо ми скажемо, що число 123 містить 12 десятків та 3 одиниці. Іншими словами, десятки будуть згруповані 12 разів:

10 × 12 = 120

А одиниці тричі:

1 × 3 = 3

Це можна зрозуміти на прикладі. Якщо є 123 яблука, то можна згрупувати перші 120 яблук 12 разів по 10 штук:

Вийшло сто двадцять яблук. Але залишилося ще три яблука. Їх ми назвемо як «три одиниці»

Якщо скласти отримані результати 120 та 3, знову отримаємо число 123

120 + 3 = 123

Ще можна згрупувати 123 яблука на одну сотню, два десятки та три одиниці.

Згрупуємо сотню:

Згрупуємо два десятки:

Згрупуємо три одиниці:

Якщо скласти отримані результати 100, 20 та 3, знову отримаємо число 123

100 + 20 + 3 = 123

Ну і нарешті, розглянемо останнє можливе угруповання, де яблука не розподілятимуться на десятки та сотні, а будуть зібрані разом. У такому разі число 123 читатиметься як «сто двадцять три одиниці» . Таке угруповання теж буде допустимим:

1 × 123 = 123

Число 523 можна прочитати, як 3 одиниці, 2 десятки та 5 сотень:

1 × 3 = 3 (три одиниці)

10 × 2 = 20 (два десятки)

100 × 5 = 500 (п'ять сотень)

3 + 20 + 500 = 523

Ще можна прочитати, як 3 одиниці 52 десятки:

1 × 3 = 3 (три одиниці)

10 × 52 = 520 (п'ятдесят два десятки)

3 + 520 = 523

Ще число 523 можна прочитати як 523 одиниці:

1 × 523 = 523 (п'ятсот двадцять три одиниці)

Де застосувати розряди?

Розряди значно полегшують деякі обчислення. Уявіть, що ви біля дошки та вирішуєте завдання. Ви майже закінчили завдання, залишилося лише обчислити останній вираз та отримати відповідь. Вираз, який треба обчислити, виглядає так:

Калькулятора під рукою немає, а хочеться швидко записати відповідь та здивувати всіх швидкістю своїх обчислень. Все просто, якщо окремо скласти одиниці, окремо десятки та сотні. Починати треба із розряду одиниць. В першу чергу після знака одно (=) необхідно поставити в думках три точки. Замість цих точок розташовуватиметься нове число (наша відповідь):

Тепер починаємо складати. У розряді одиниць числа 632 розташовується цифра 2, а в розряді одиниць числа 264 цифра 4. Це означає, що розряд одиниць числа 632 містить дві одиниці, а розряд одиниць числа 264 містить чотири одиниці. Складаємо 2 та 4 одиниці - отримуємо 6 одиниць. Записуємо цифру 6 у розряді одиниць нового числа (нашої відповіді):

Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 632 розташовується цифра 3, а розряді десятків числа 264 — цифра 6. Це означає, що розряд десятків числа 632 містить три десятки, а розряд десятків числа 264 містить шість десятків. Складаємо 3 та 6 десятків - отримуємо 9 десятків. Записуємо цифру 9 у розряді десятків нового числа (нашої відповіді):

Ну і на завершення складаємо окремо сотні. У розряді сотень числа 632 розташовується цифра 6, а розряді сотень числа 264 — цифра 2. Це означає, що розряд сотень числа 632 містить шість сотень, а розряд сотень числа 264 містить дві сотні. Складаємо 6 та 2 сотні, отримуємо 8 сотень. Записуємо цифру 8 у розряді сотень нового числа (нашої відповіді):

Таким чином, якщо до 632 додати 264, виходить 896. Звичайно, ви обчислите подібний вираз швидше і оточуючі почнуть дивуватися вашим здібностям. Вони думатимуть, що ви швидко обчислюєте великі числа, а насправді ви обчислювали маленькі. Погодьтеся, що малі числа обчислювати легше, ніж більші.

Переповнення розряду

Розряд характеризується однією цифрою від 0 до 9. Але іноді при обчисленні числового виразу в середині рішення може статися переповнення розряду.

Наприклад, при додаванні чисел 32 і 14 переповнення не відбувається. Додавання одиниць цих чисел дасть 6 одиниць у новому числі. А додавання десятків цих чисел дасть 4 десятки у новому числі. Вийде відповідь 46 або шість одиниць та чотири десятки .

А ось при додаванні чисел 29 і 13 відбудеться переповнення. Додавання одиниць цих чисел дає 12 одиниць, а додавання десятків 3 десятки. Якщо в новому числі в розряді одиниць записати отримані 12 одиниць, а в розряді десятків записати отримані 3 десятки, то вийде помилка:

Значення виразу 29 + 13 дорівнює 42 , а чи не 312 . Як же слід чинити при переповненні? У нашому випадку переповнення відбулося у розряді одиниць нового числа. При складанні дев'яти та трьох одиниць у нас вийшло 12 одиниць. А в розряд одиниць можна записувати лише цифри в діапазоні від 0 до 9.

Справа в тому, що 12 одиниць це не просто «дванадцять одиниць» . Інакше це число можна прочитати як «дві одиниці та один десяток» . Розряд одиниць призначений лише одиниць. Десяткам там не місце. Тут і є наша помилка. Склавши 9 одиниць та 3 одиниці ми отримали 12 одиниць, які по-іншому можна назвати двома одиницями та одним десятком. Записавши дві одиниці і один десяток в одному розряді, ми припустилися помилки, яка в результаті призвела до неправильної відповіді.

Щоб виправити ситуацію, дві одиниці потрібно записати в розряді одиниць нового числа, а десяток, що залишився, перенести на наступний розряд десятків. Після складання десятків у прикладі 29 + 13 ми додамо до отриманого результату той десяток, який залишився при складанні одиниць.

Отже, із 12 одиниць дві одиниці запишемо в розряді одиниць нового числа, а один десяток перенесемо на наступний розряд

Як видно на малюнку, 12 одиниць ми представили як 1 десяток та 2 одиниці. Дві одиниці записали в розряді одиниць нового числа. А десяток перенесли до розрядів десятків. Цей десяток ми додамо до результату додавання десятків чисел 29 та 13. Щоб не забути про нього, ми написали його над десятками числа 29.

Тепер складаємо десятки. Два десятки плюс один десяток буде три десятки плюс один десяток, який залишився від попередньої додавання. У результаті в розряді десятків отримуємо чотири десятки:

Приклад 2. Скласти за розрядами числа 862 та 372.

Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 862 розташовується цифра 2, у розряді одиниць числа 372 - також цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 862 містить дві одиниці і розряд одиниць числа 372 також містить дві одиниці. Складаємо 2 одиниці плюс 2 одиниці – отримуємо 4 одиниці. Записуємо цифру 4 у розряді одиниць нового числа:

Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 862 розташовується цифра 6, а розряді десятків числа 372 — число 7. Це означає, що розряд десятків числа 862 містить шість десятків, а розряд десятків числа 372 містить сім десятків. Складаємо 6 десятків та 7 десятків - отримуємо 13 десятків. Відбулося переповнення розряду. 13 десятків це десятка повторена 13 разів. А якщо повторити десятку 13 разів, то вийде число 130

10 × 13 = 130

Число 130 складається з трьох десятків та однієї сотні. Три десятки ми запишемо у розряді десятків нового числа, а одну сотню відправимо на наступний розряд:

Як видно на малюнку, 13 десятків (число 130) ми представили як 1 сотню та 3 десятки. Три десятки ми записали у розряді десятків нового числа. А одну сотню перенесли до сотень. Цю сотню ми додамо до результату додавання сотень чисел 862 і 372. Щоб не забути про неї, ми написали її над сотнями числа 862.

Тепер складаємо сотні. Вісім сотень плюс три сотні буде одинадцять сотень плюс одна сотня, яка залишилася від попередньої додавання. У результаті в розряді сотень отримуємо дванадцять сотень:

Тут також відбувається переповнення розряду сотень, але це не призводить до помилки, оскільки рішення завершено. За бажання з 12 сотнями можна провести ті ж дії, що ми провели із 13 десятками.

12 сотень це сотня, повторена 12 разів. А якщо повторити сотню 12 разів, то вийде 1200

100 × 12 = 1200

У числі 1200 дві сотні та одна тисяча. Дві сотні записуються до сотень нового числа, а одна тисяча перенеслася до розряду тисяч.

Тепер розглянемо приклади на віднімання. Для початку пригадаємо, що таке віднімання. Це операція, яка дозволяє від одного числа відняти інше. Віднімання складається з трьох параметрів: зменшення, віднімання і різниці. Віднімати теж потрібно за розрядами.

Приклад 3. Відняти від 65 число 12.

Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 65 розташовується цифра 5, а в розряді одиниць числа 12 цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 65 містить п'ять одиниць, а розряд одиниць числа 12 містить дві одиниці. Віднімемо з п'яти одиниць дві одиниці, отримаємо три одиниці. Записуємо цифру 3 у розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. У розряді десятків числа 65 розташовується цифра 6, а розряді десятків числа 12 — цифра 1. Це означає, що розряд десятків числа 65 містить шість десятків, а розряд десятків числа 12 містить один десяток. Віднімемо з шести десятків один десяток, отримаємо п'ять десятків. Записуємо цифру 5 у розряді десятків нового числа:

Приклад 4. Відняти з числа 32 число 15

У розряді одиниць числа 32 міститься дві одиниці, а розряді одиниць числа 15 — п'ять одиниць. Від двох одиниць не відняти п'ять одиниць, оскільки дві одиниці менше, ніж п'ять одиниць.

Згрупуємо 32 яблука так, щоб у першій групі було три десятки яблук, а в другій — дві одиниці яблук, що залишилися:

Отже, нам треба з цих 32 яблук відняти 15 яблук, тобто відняти п'ять одиниць і один десяток яблук. Причому відняти за розрядами.

Від двох одиниць яблук не можна відняти п'ять одиниць яблук. Щоб виконати віднімання, дві одиниці повинні взяти кілька яблук у сусідньої групи (розряду десятків). Але не можна брати скільки заманеться, оскільки десятки строго впорядковані по десять штук. Розряд десятків може дати двом одиницям лише цілий десяток.

Отже, беремо один десяток із розряду десятків і віддаємо його двом одиницям:

До двох одиниць яблук тепер приєднався десяток яблук. Виходить 12 одиниць яблук. А від дванадцяти можна відняти п'ять, вийде сім. Записуємо цифру 7 у розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Оскільки розряд десятків віддав одиницям один десяток, зараз він має не три, а два десятки. Тому віднімаємо з двох десятків один десяток. Залишиться один десяток. Записуємо цифру 1 у розряді десятків нового числа:

Щоб не забувати, що в якомусь розряді було взято один десяток (або сотня або тисяча), над цим розрядом прийнято ставити крапку.

Приклад 5. Відняти з числа 653 число 286

У розряді одиниць числа 653 міститься три одиниці, а розряді одиниць числа 286 — шість одиниць. Від трьох одиниць не відняти шість одиниць, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти один десяток:

Взятий один десяток і три одиниці разом утворюють тринадцять одиниць. Від тринадцяти одиниць можна відняти шість одиниць, вийде сім одиниць. Записуємо цифру 7 у розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Раніше розряд десятків числа 653 містив п'ять десятків, але ми взяли з нього один десяток, і тепер у розряді десятків є чотири десятки. З чотирьох десятків не відняти вісім десятків, тому беремо одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти одну сотню:

Взята одна сотня та чотири десятки разом утворюють чотирнадцять десятків. Від чотирнадцяти десятків можна відняти вісім десятків, вийде шість десятків. Записуємо цифру 6 у розряді десятків нового числа:

Тепер віднімаємо сотні. Раніше розряд сотень числа 653 містив шість сотень, але ми взяли з нього одну сотню і тепер у розряді сотень містяться п'ять сотень. З п'яти сотень можна відняти дві сотні, виходить три сотні. Записуємо цифру 3 у розряді сотень нового числа:

Набагато складніше віднімати з чисел виду 100, 200, 300, 1000, 10000. Тобто числа, які мають наприкінці нулі. Щоб виконати віднімання, кожному розряду доводиться займати десятки/сотні/тисячі у наступного розряду. Погляньмо, як це відбувається.

Приклад 6

У розряді одиниць числа 200 міститься нуль одиниць, а розряді одиниць числа 84 — чотири одиниці. Від нуля не відняти чотири одиниці, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти один десяток:

Але в розряді десятків немає десятків, які ми могли б взяти, бо там також нуль. Щоб розряд десятків зміг дати нам один десяток, ми маємо взяти йому одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти одну сотню для розряду десятків:

Взята одна сотня — це десять десятків. З цих десяти десятків ми беремо один десяток і віддаємо його одиницям. Цей один десяток і колишні нуль одиниць разом утворюють десять одиниць. Від десяти одиниць можна відняти чотири одиниці, вийде шість одиниць. Записуємо цифру 6 у розряді одиниць нового числа:

Тепер віднімаємо десятки. Щоб відняти одиниці, ми звернулися до розряду десятків за одним десятком, але на той момент цей розряд був порожній. Щоб розряд десятків зміг дати один десяток, ми взяли одну сотню в розряду сотень. Цю одну сотню ми назвали «десять десятків» . Один десяток ми віддали одиницям. Значить зараз у розряді десятків містяться не десять, а дев'ять десятків. Від дев'яти десятків можна відняти вісім десятків, вийде один десяток. Записуємо цифру 1 у розряді десятків нового числа:

Тепер віднімаємо сотні. Для розряду десятків ми брали у розряду сотень одну сотню. Отже зараз у розряді сотень містяться не дві сотні, а одна. Оскільки в розрахованому розряд сотень немає, ми переносимо цю одну сотню в розряд сотень нового числа:

Природно, виконувати віднімання таким традиційним методом досить складно, особливо спочатку. Зрозумівши сам принцип віднімання, можна скористатися нестандартними способами.

Перший спосіб полягає в тому, щоб зменшити число, яке на кінці нулі на одну одиницю. Далі з отриманого результату відняти віднімається і до отриманої різниці додати одиницю, яку спочатку відняли від зменшуваного. Давайте вирішимо попередній приклад у такий спосіб:

Зменшується це число 200. Зменшимо це число на одиницю. Якщо від 200 відняти 1 вийде 199. Тепер у прикладі 200-84 замість числа 200 записуємо число 199 і вирішуємо приклад 199-84. А рішення цього прикладу не складає особливих труднощів. Одиниці віднімемо з одиниць, десятки з десятків, а сотню просто перенесемо до нового числа, оскільки в числі 84 немає сотень:

Отримали відповідь 115. Тепер до цієї відповіді додаємо одиницю, яку ми спочатку відняли з числа 200

Отримали остаточну відповідь 116.

Приклад 7. Відняти з числа 100000 число 91899

Віднімемо з 100000 одиницю, отримаємо 99999

Тепер з 99999 віднімаємо 91899

До отриманого результату 8100 додамо одиницю, яку ми відняли з 100000

Отримали остаточну відповідь 8101.

Другий спосіб віднімання у тому, щоб розглядати цифру, що у розряді, як самостійне число. Вирішимо кілька прикладів у такий спосіб.

Приклад 8. Відняти з числа 75 число 36

Отже, у розряді одиниць числа 75 розташовується число 5, а розряді одиниць числа 36 розташовується число 6. З п'яти не відняти шести, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків.

У розряді десятків розташовується число 7. Беремо від цього числа одну одиницю і подумки дописуємо її ліворуч від числа 5

А оскільки від числа 7 взято одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю і звернеться до числа 6

Тепер у розряді одиниць числа 75 розташовується число 15, а в розряді одиниць числа 36 число 6. З 15 можна відняти 6, вийде 9. Записуємо число 9 у розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. Раніше там розташовувалося число 7, але ми взяли з цього числа одну одиницю, тому зараз там розташовується число 6. А в розряді десятків числа 36 розташовується число 3. З 6 можна відняти 3, вийде 3. Записуємо число 3 у розряді десятків нового числа:

Приклад 9. Відняти з числа 200 число 84

Отже, у розряді одиниць числа 200 розташовується нуль, а розряді одиниць числа 84 — розташовується чотири. Від нуля не відняти чотири, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Але в розряді десятків також нуль. Нуль не зможе дати нам одиницю. У такому разі за наступне приймаємо число 20.

Беремо одну одиницю від числа 20 і подумки дописуємо її ліворуч від нуля, що розташовується в розряді одиниць. А оскільки від числа 20 взято одну одиницю, це число звернеться до числа 19

Тепер у розряді одиниць розташовується число 10. Десять мінус чотири дорівнює шість. Записуємо число 6 у розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. Раніше там був нуль, але цей нуль разом з наступною цифрою 2 утворив число 20, від якого ми брали одну одиницю. В результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер у розряді десятків числа 200 розташовується число 9, а в розряді десятків числа 84 розташовується число 8. Дев'ять мінус вісім одно одному. Записуємо число 1 у розряді десятків нашої відповіді:

Переходимо до наступного числа, що перебуває до розряду сотень. Раніше там було число 2, але це число разом з цифрою 0 ми прийняли за число 20, від якого взяли одну одиницю. У результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер у розряді сотень числа 200 розташовується число 1, а серед 84 розряд сотень порожній, тому ми переносимо цю одиницю до нового числа:

Цей метод спочатку здається складним і позбавленим будь-якого сенсу, але насправді він найлегший. В основному ми будемо ним користуватися при складанні та відніманні чисел у стовпчик.

Додавання в стовпчик

Додавання в стовпчик це шкільна операція, яку пам'ятають багато хто, але не заважає згадати її ще раз. Додавання в стовпчик відбувається за розрядами — одиниці складаються з одиницями, десятки з десятками, сотні з сотнями, тисячі з тисячами.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Скласти 61 та 23.

Спочатку записуємо перше число, а під ним друге число так, щоб одиниці та десятки другого числа опинилися під одиницями та десятками першого числа. Все це з'єднуємо знаком додавання (+) по вертикалі:

Тепер одиниці першого числа складаємо з одиницями другого числа, а десятки першого числа складаємо із десятками другого числа:

Отримали 61+23=84.

приклад 2.Скласти 108 та 60

Тепер складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа, десятки першого числа з десятками другого числа, сотні першого числа із сотнями другого числа. Але сотня є тільки у першого числа 108. У цьому випадку цифра 1 із розряду сотень додається до нового числа (нашої відповіді). Як казали у школі «зноситься»:

Видно, що ми знесли цифру 1 до нашої відповіді.

Коли йдеться про додавання, немає різниці в якому порядку записувати числа. Наш приклад цілком можна було записати і так:

Перший запис, де число 108 було нагорі, зручніше для обчислення. Людина має право вибирати будь-який запис, але обов'язково треба пам'ятати, що одиниці треба записувати строго під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями. Іншими словами, такі записи будуть неправильними:

Якщо раптом при складанні відповідних розрядів вийде число, яке не поміщається в розряд нового числа, то необхідно записати одну цифру з молодшого розряду, а перенести, що залишилася, на наступний розряд.

У цьому випадку йдеться про переповнення розряду, про який ми говорили раніше. Наприклад, при додаванні 26 і 98 виходить 124. Давайте подивимося, як це вийшло.

Записуємо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками:

Складаємо одиниці першого числа із одиницями другого числа: 6+8=14. Отримали число 14, яке не поміститься до розряду одиниць нашої відповіді. У разі ми спочатку витягуємо з 14 цифру, що у розряді одиниць і записуємо їх у розряді одиниць нашої відповіді. У розряді одиниць числа 14 знаходиться цифра 4. Записуємо цю цифру в розряді одиниць нашої відповіді:

А куди подіти цифру 1 із числа 14? Тут починається найцікавіше. Цю одиницю переносимо на наступний розряд. Вона буде додана до розряду десятків нашої відповіді.

Складаємо десятки із десятками. 2 плюс 9 дорівнює 11 плюс додаємо одиницю, яка дісталася нам від числа 14. Додавши до 11 нашу одиницю, ми отримаємо число 12, яке і запишемо в розряді десятків нашої відповіді. Оскільки це кінець рішення, тут уже не стоїть питання про те, чи вміститься відповідь у розряд десятків. 12 ми записуємо повністю, утворюючи остаточну відповідь.

Отримали відповідь 124.

Говорячи традиційним способом додавання, при додаванні 6 і 8 одиниць вийшло 14 одиниць. 14 одиниць це 4 одиниці та 1 десяток. Чотири одиниці записали в розряді одиниць, а один десяток відправили на наступний розряд (до розрядів десятків). Потім склавши 2 десятки та 9 десятків, ми отримали 11 десятків, плюс додали 1 десяток, який залишився при складанні одиниць. В результаті отримали 12 десятків. Ці дванадцять десятків ми записали цілком, утворюючи остаточну відповідь124.

Цей простенький приклад демонструє шкільну ситуацію, де говорять «чотири пишемо, один в умі» . Якщо ви вирішуватимете приклади і у вас після складання розрядів залишиться цифра, яку треба пам'ятати, запишіть її над тим розрядом, куди вона буде потім додана. Це дозволить вам не забути про неї:

Приклад 2. Скласти числа 784 та 548

Записуємо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями:

Складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа: 4+8=12. Число 12 не вміщається в розряд одиниць нашої відповіді, тому ми з 12 виймаємо цифру 2 з розряду одиниць і записуємо в розряд одиниць нашої відповіді. А цифру 1 переносимо на наступний розряд:

Тепер складаємо десятки. Складаємо 8 та 4 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції (одиниця залишилася від 12, на малюнку вона виділена синім кольором). Складаємо 8+4+1=13. Число 13 не вміститься у розряд десятків нашої відповіді, тому ми запишемо цифру 3 у розряді десятків, а одиницю перенесемо на наступний розряд:

Тепер складаємо сотні. Складаємо 7 та 5 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції: 7+5+1=13. Записуємо число 13 до сотень:

Віднімання у стовпчик

Приклад 1. Віднімемо з числа 69 число 53.

Запишемо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками. Потім віднімаємо за розрядами. З одиниць першого числа віднімаємо одиниці другого числа. З десятків першого числа віднімаємо десятки другого числа:

Отримали відповідь 16.

приклад 2.Знайти значення виразу 95 − 26

Розряд одиниць числа містить 95 5 одиниць, а розряд одиниць числа 26 містить 6 одиниць. Від п'яти одиниць не можна відняти шість одиниць, тому беремо десяток у розряду десятків. Цей десяток та наявні п'ять одиниць разом становлять 15 одиниць. З 15 одиниць можна відняти 6 одиниць, вийде 9 одиниць. Записуємо цифру 9 у розряді одиниць нашої відповіді:

Тепер віднімаємо десятки. Розряд десятків числа 95 раніше містив 9 десятків, але ми взяли з цього розряду один десяток і зараз він містить 8 десятків. А розряд десятків числа 26 містить 2 десятки. З восьми десятків можна відняти два десятки, вийде шість десятків. Записуємо цифру 6 у розряді десятків нашої відповіді:

Скористаємося у якому кожна цифра, яка входить у число, сприймається як окреме число. При відніманні великих чисел у стовпчик цей спосіб дуже зручний.

У розряді одиниць зменшуваного розташовується число 5. На розряді одиниць віднімається число 6. З п'ятірки не відняти шістку. Тому беремо одну одиницю у числа 9. Взята одиниця подумки дописується ліворуч від п'ятірки. Оскільки у числа 9 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

У результаті п'ятірка звертається до числа 15. Тепер можна з 15 відняти 6. Виходить 9. Записуємо число 9 у розряді одиниць нашої відповіді:

Переходимо до розряду десятків. Раніше там розташовувалося число 9, але оскільки ми взяли в нього одну одиницю, воно звернулося до числа 8. У розряді десятків другого числа розташовується число 2. Вісім мінус два буде шість. Записуємо число 6 у розряді десятків нашої відповіді:

приклад 3.Знайдемо значення виразу 2412 − 2317

Записуємо в стовпчик цей вираз:

У розряді одиниць числа 2412 розташовується число 2, а в розряді одиниць числа 2317 розташовується число 7. З двійки не відняти сімку, тому беремо одиницю у наступного числа 1. Взяту одиницю подумки дописуємо зліва від двійки:

В результаті двійка звертається до числа 12. Тепер можна з 12 відняти 7. Виходить 5. Записуємо цифру 5 у розряді одиниць нашої відповіді:

Переходимо до десятків. У розряді десятків числа 2412 раніше розташовувалося число 1, але оскільки ми взяли в нього одну одиницю, воно звернулося до 0. На розряді десятків числа 2317 розташовується число 1. З нуля не відняти одиницю. Тому беремо одну одиницю у наступного числа 4. Взяту одиницю подумки дописуємо зліва від нуля. Оскільки у числа 4 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

У результаті нуль звертається до числа 10. Тепер можна з 10 відняти 1. Виходить 9. Записуємо цифру 9 у розряді десятків нашої відповіді:

У розряді сотень числа 2412 раніше розташовувалося число 4, але зараз там розташовується число 3. У розряді сотень числа 2317 також розташовується число 3. Три мінус три дорівнює нулю. Те саме і з розрядами тисяч в обох числах. Два мінус два дорівнює нулю. Якщо ж різниця старших розрядів дорівнює нулю, цей нуль не записують. Тому остаточною відповіддю буде 95.

Приклад 4. Знайти значення виразу 600 − 8

У розряді одиниць числа 600 розташовується нуль, а розряді одиниць числа 8 саме це число. З нуля не відняти вісімку, тому беремо одиницю у наступного числа. Але така кількість це теж нуль. Тоді за наступне число приймаємо число 60. Беремо одну одиницю цього числа і подумки дописуємо її ліворуч від нуля. Оскільки у числа 60 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:

Тепер у розряді одиниць розташовується число 10. З 10 можна відняти 8, вийде 2. Записуємо число 2 у розряді одиниць нового числа:

Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. У розряді десятків раніше розташовувався нуль, але нині там розташовується число 9, тоді як у другому числі розряд десятків відсутня. Тому число 9 переноситься до нового числа:

Переходимо до наступного числа, що у розряді сотень. У розряді сотень раніше розташовувалося число 6, але нині там розташовується число 5, тоді як у другому числі розряд сотень відсутня. Тому число 5 переноситься до нового числа:

Приклад 5.Знайти значення виразу 10000 − 999

Запишемо в стовпчик цей вираз:

У розряді одиниць числа 10000 розташовується 0, а розряді одиниць числа 999 розташовується число 9. З нуля не відняти дев'ятку, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків. Але в наступному розряді також нуль. Тоді за наступне число приймаємо 1000 і беремо з цього числа одиницю:

Наступне число в даному випадку було 1000. Взявши в нього одиницю, ми звернули його до числа 999. А взяту одиницю дописали зліва від нуля.

Подальше обчислення не склало особливих труднощів. Десять мінус дев'ять одно одному. Віднімання чисел, що у розряді десятків обох чисел дало нуль. Віднімання чисел, що у розряді сотень обох чисел теж дало нуль. А дев'ятку з розряду тисяч було перенесено до нового числа:

Приклад 6. Знайти значення виразу 12301 − 9046

Запишемо в стовпчик цей вираз:

У розряді одиниць числа 12301 розташовується число 1, а розряді одиниць числа 9046 розташовується число 6. З одиниці не відняти шість, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків. Але в наступному розряді розташовується нуль. Нуль нічого нам дати не зможе. Тоді за наступне число приймаємо 1230 та беремо від цього числа одиницю:

Для запису чисел люди вигадали десять знаків, які називаються цифрами. Це: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

За допомогою десяти цифр можна записати будь-яке натуральне число.

Від кількості знаків (цифр) у числі залежить його назва.

Число, що складається з одного знака (цифри), називається однозначним. Найменше однозначне натуральне число - "1", найбільше - "9".

Число, що складається із двох знаків (цифр), називається двозначним. Найменше двозначне число - "10", найбільше - "99".

Числа, записані за допомогою двох, трьох, чотирьох і більше цифр, називаються двозначними, тризначними, чотиризначними або багатозначними. Найменше тризначне число - "100", найбільше - "999".

Кожна цифра запису багатозначного числа займає певне місце — позицію.

Запам'ятайте!

Розряд- Це місце (позиція), на якому в записі числа стоїть цифра.

Одна й та цифра в записі числа може мати різні значення в залежності від того, в якому розряді вона стоїть.

Розряди відраховуються з кінця числа.

Розряд одиниць- Це наймолодший розряд, яким закінчується будь-яке число.

Цифра "5" означає "5" одиниць, якщо п'ятірка стоїть на останньому місці в записі числа (у розряді одиниць).

Розряд десятків- Це розряд, який стоїть перед розрядом одиниць.

Цифра "5" означає "5" десятків, якщо вона стоїть на передостанньому місці (у розряді десятків).

Розряд сотень- Це розряд, який стоїть перед розрядом десятків. Цифра 5 означає 5 сотень, якщо вона стоїть на третьому місці від кінця числа (у розряді сотень).

Запам'ятайте!

Якщо в числі немає будь-якого розряду, то в записі числа на його місці стоятиме цифра «0» (нуль).

приклад. У числі «807» міститься 8 сотень, 0 десятків та 7 одиниць — такий запис називається розрядним складом числа.

807 = 8 сотень 0 десятків 7 одиниць

Кожні 10 одиниць будь-якого розряду утворюють нову одиницю вищого розряду. Наприклад, 10 одиниць утворюють 1 десяток, а 10 десятків утворюють 1 сотню.

Таким чином, значення цифри від розряду до розряду (від одиниць до десятків, від десятків до сотень) збільшується у 10 разів. Тому система рахунку (числення), яку ми використовуємо, називається десятковою системою числення.

Класи та розряди

У записі числа розряди, починаючи праворуч, групуються до класів по три розряди у кожному.

Клас одиницьабо перший клас - це клас, який утворюють перші три розряди (праворуч від кінця числа): розряд одиниць, розряд десятків та розряд сотень.

Клас тисячабо другий клас - це клас, який утворюють такі три розряди: одиниці тисяч, десятки тисяч і сотні тисяч.

Числа	Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
5 234	-	-	5	2	3	4
12 803	-	1	2	8	0	3
356 149	3	5	6	1	4	9

Нагадуємо, що 10 одиниць розряду сотень (з класу одиниць) утворюють одну тисячу (одиницю наступного розряду: одиницю тисяч у класі тисяч).

10 сотень = 1 тисяча

Клас мільйонівабо третій клас - це клас, який утворюють такі три розряди: одиниці мільйонів, десятки мільйонів та сотні мільйонів.

Одиниця розряду мільйонів — це мільйон чи тисяча тисяч (1 000 тисяч). Один мільйон можна записати у вигляді числа "1 000 000".

Десять таких одиниць утворюють нову розрядну одиницю – десять мільйонів «10 000 000»

Десять десятків мільйонів утворюють нову розрядну одиницю — сто мільйонів чи записи цифрами «100 000 000 ».

Числа				Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні мільйонів	десятки мільйонів	одиниці мільйонів	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
8 345 216	-	-	8	3	4	5	2	1	6
93 785 342	-	9	3	7	8	5	3	4	2
134 590 720	1	3	4	5	9	0	7	2	0

Числа	Клас мільйонів (третій клас)			Клас тисяч (другий клас)			Клас одиниць (перший клас)
	сотні мільйонів	десятки мільйонів	одиниці мільйонів	сотні тисяч	десятки тисяч	одиниці тисяч	сотні	десятки	одиниці
8 345 216	-	-	8	3	4	5	2	1	6
93 785 342	-	9	3	7	8	5	3	4	2
134 590 720	1	3	4	5	9	0	7	2	0

Як прочитати багатозначне число

Запам'ятайте!

Не вимовляють назву класу одиниць, а також назва класу, усі три цифри якого нули.

Наприклад, число «134590720» читаємо: сто тридцять чотири мільйони п'ятсот дев'яносто тисяч сімсот двадцять.

Число «418 000 547» читаємо: чотириста вісімнадцять мільйонів п'ятсот сорок сім.

На нашому сайті для перевірки своїх результатів ви можете скористатися калькулятором розкладання числа на онлайн розряди.

Важливо!