У математиці ставленнямназивається те приватне, що виходить при розподілі одного числа на інше. Раніше сам цей термін використовувався тільки в тих випадках, коли було необхідно вираз будь-якої однієї величини в частках іншої, причому такої, яка однорідна першою. Наприклад, відносини використовувалися при вираженні площі частках інший площі, довжини частках інший довжини тощо. Розв'язання цього завдання проводилося за допомогою поділу.

Таким чином, сам зміст терміна « ставлення» був дещо інший, ніж терміна « поділ»: Справа в тому, що другий означав поділ певної іменованої величини на будь-яке абсолютно абстрактне число, що абстрактно. У сучасній математиці поняття « поділ» та « ставлення» за своїм змістом абсолютно ідентичні та є синонімами. Наприклад, і той, і інший термін з однаковим успіхом застосовують для відносинивеличин, що є неоднорідними: маси та обсягу, відстані та часу тощо. При цьому багато відносинивеличин однорідних прийнято виражати у відсотках.

приклад

У супермаркеті налічується чотириста найменувань різних товарів. З них двісті вироблено біля Російської Федерації. Визначити, яке ставленнявітчизняних товарів до загального числа товарів, що продаються у супермаркеті?

400 – загальна кількість товару

Відповідь: двісті поділити на чотириста дорівнює нуль цілих п'ять десятих, тобто п'ятдесят відсотків.

200: 400 = 0,5 чи 50%

У математиці ділимим прийнято називати попередній член відносини, а дільником – наступний член відносини. У наведеному прикладі попереднім членом було число двісті, а наступним – число чотириста.

Два рівні відносини утворюють пропорцію

У сучасній математиці прийнято вважати, що пропорцієює два рівні між собою відносини. Наприклад, якщо загальна кількість найменувань товарів, що продаються в одному супермаркеті, – чотириста, а в Росії з них виготовлено двісті, а ті ж значення для іншого супермаркету складають шістсот та триста, то співвідношеннякількості російських товарів до їх загального числа, що реалізовуються в обох торгових підприємствах, однаково:

1.Двісті розділити на чотириста дорівнює нуль цілих п'ять десятих, тобто п'ятдесят відсотків

200: 400 = 0,5 чи 50%

2.Триста розділити на шістсот дорівнює нуль цілих п'ять десятих, тобто п'ятдесят відсотків

300: 600 = 0,5 чи 50%

В даному випадку є пропорція, яку можна записати так:

=

Якщо формулювати цей вираз так, як це заведено робити в математиці, то говориться, що двісті відноситьсядо чотирьохсот так само, як триста відноситьсядо шестисот. При цьому двісті та шістсот називаються крайніми членами пропорції, а чотириста і триста – середніми членами пропорції.

Добуток середніх членів пропорції

Згідно з одним із законів математики, твір середніх членів будь-якої пропорціїдорівнює добутку її крайніх членів. Якщо повернутися до наведених вище прикладів, то проілюструвати це можна так:

Двісті помножене на шістсот дорівнюють сто двадцять тисяч;

200 × 600 = 120 000

Триста помножене на чотириста дорівнює сто двадцять тисяч.

300 × 400 = 120 000

З цього випливає, що кожен із крайніх членів пропорціїдорівнює добутку її середніх членів, поділеному на інший крайній член. За тим самим принципом кожен із середніх членів пропорціїдорівнює крайніх її членів, поділеному на інший середній член.

Якщо повернутися до наведеного вище прикладу пропорції, то:

Двісті дорівнює чотириста помножена на триста і поділена на шістсот.

200 =

Ці властивості широко використовуються у практичних математичних обчисленнях тоді, коли потрібно знайти значення невідомого члена пропорціїпри відомих значеннях трьох членів решти.

Розв'язання задачі за допомогою пропорції зводиться до того, щоб зробити невідоме значення xчленом цієї пропорції. Потім використовуючи основну властивість пропорції отримати лінійне рівняння та вирішити його.

Попередні навички Зміст уроку

Як вирішити задачу за допомогою пропорції

Розглянемо найпростіший приклад. Трьом групам потрібно виплатити стипендію по 1600 рублів кожному. У першій групі 20 студентів. Значить, першій групі буде виплачено 1600 × 20, тобто 32 тис. рублів.

У другій групі 17 людей. Значить другій групі буде виплачено 1600×17, тобто 27,200 тис. руб.

Та й виплатимо стипендію третій групі. У ній 15 людей. Там потрібно витратити 1600 × 15, тобто 24 тис. крб.

У результаті маємо таке рішення:

Для таких завдань рішення можна записувати за допомогою пропорції.

Пропорція визначення є рівність двох відносин. Наприклад, рівність є пропорцією. Цю пропорцію можна прочитати так:

aтак ставиться до b, як cвідноситься d

Аналогічно можна співвіднести стипендію та студентів, так щоб кожному дісталося по 1600 рублів.

Отже, запишемо перше ставлення, а саме відношення 1600 рублів на одну людину:

Ми з'ясували, що для виплати 20 студентам по 1600 рублів нам знадобиться 32 тис. рублів. Отже друге ставлення буде ставленням тридцяти двох тисяч до двадцяти студентів:

Тепер з'єднаємо отримані відносини знаком рівності:

Ми здобули пропорцію. Її можна прочитати так:

Тисяча шістсот карбованців так ставляться до одного студента, як тридцять дві тисячі карбованців ставляться до двадцяти студентів.

Тобто по 1600 карбованців кожному. Якщо виконати поділ в обох частинах рівності , то виявимо, що одному студенту, як і двадцяти студентам дістанеться по 1600 рублів.

Тепер уявімо, що сума грошей, необхідних для виплати стипендії двадцяти студентам, була б невідомою. Скажімо, якби питання стояло так: в групі 20 студентів та кожному потрібно виплатити по 1600 рублів. Скільки рублів потрібно для виплати стипендії?

У такому разі пропорція набула б вигляду. Тобто, сума грошей, необхідна для виплати стипендії, стала невідомим членом пропорції. Цю пропорцію можна прочитати так:

Тисяча шістсот карбованців так ставляться до одного студента, як невідома кількість рубліввідноситься до двадцяти студентів

Тепер скористаємося основною властивістю пропорції. Воно говорить, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх:

Перемноживши члени пропорції «хрест-навхрест», отримаємо рівність 1600 × 20 = 1 × x. Обчисливши обидві частини рівності, отримаємо 32000 = xабо x= 32000. Іншими словами, ми знайдемо значення невідомої величини, яку шукали.

Аналогічно можна було визначити загальну суму й для решти студентів — для 17 та 15. Ці пропорції виглядали як і . Скориставшись основною властивістю пропорції, можна знайти значення x

Завдання 2. Відстань 100 км автобус проїхав за 2 години. Скільки часу потрібно автобусу, щоб проїхати 300 км, якщо їхати з тією самою швидкістю?

Можна спочатку визначити відстань, яку автобус проїжджає за одну годину. Потім визначити скільки разів ця відстань міститься у 300 кілометрах:

100: 2 = 50 км на кожну годину руху

300 км: 50 = 6 годин

Або можна скласти пропорцію "сто кілометрів так ставляться до однієї години, як триста кілометрів до невідомої кількості годин":

Відношення однойменних величин

Якщо крайні чи середні члени пропорції поміняти місцями, пропорція не порушиться.

Так, у пропорції можна поміняти місцями останні члени. Тоді вийде пропорція .

Пропорція також не порушиться, якщо її перевернути, тобто використовувати обернені відносини в обох частинах.

Перевернемо пропорцію . Тоді отримаємо пропорцію . Взаємозв'язок у своїй не порушується. Відношення між студентами дорівнює відношенню між сумами грошей, призначених для цих студентів. Таку пропорцію часто складають у школі, коли для вирішення завдання складаються таблиці

Цей спосіб запису дуже зручний, оскільки дозволяє перевести умову завдання більш зрозумілий вигляд. Вирішимо завдання в якому потрібно було визначити скільки рублів потрібно для виплати стипендії двадцяти студентам.

Умову задачі запишемо так:

Складемо таблицю на основі цієї умови:

Складемо пропорцію, використовуючи дані таблиці:

Використовуючи основну властивість пропорції, отримаємо лінійне рівняння та знайдемо його корінь:

Спочатку ми мали справу з пропорцією , яка складена із відносин величин різної природи. У чисельниках відносин розташовувалися суми грошей, а у знаменниках кількість студентів:

Змінивши місцями крайні члени, ми отримали пропорцію . Ця пропорція складена із відносин величин однієї природи. У першому відношенні міститься кількість студентів, а в другому — суми грошей:

Якщо відношення складено з величин однієї природи, то ми називатимемо його ставленням однойменних величин. Наприклад, відносини між фруктами, грошима, фізичними величинами, явищами, діями.

Ставлення може бути складено як з однойменних величин, так і з величин різної природи. Прикладами останніх є відношення відстані до часу, відношення вартості товару до кількості, відношення загальної суми стипендії до кількості студентів.

Приклад 2. У шкільному саду посаджено сосни та берези, причому на кожну сосну припадає 2 берези. Скільки посадили сосен у саду, якщо берез посадили 240?

Визначимо, скільки сосен було посаджено в саду. Для цього складемо пропорцію. За умови сказано, що на кожну сосну припадає 2 берези. Напишемо ставлення, що показує, що на одну сосну припадає дві берези:

Тепер напишемо друге ставлення, що показує що на xсосен припадає 240 беріз

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо таку пропорцію:

«2 берези так ставляться до однієї сосни,
як 240 беріз відносяться до x сосна»

Використовуючи основну властивість пропорції, знаходимо значення x

Або пропорцію можна скласти, попередньо записавши умову, як у прикладі:

Вийде та сама пропорція, але цього разу вона буде складена з відносин однойменних величин:

Значить у саду посадили 120 сосен.

Приклад 3. З 225 кг руди одержали 34,2 кг міді. Який відсотковий вміст міді в руді?

Можна розділити 34,2 на 225 та отриманий результат виразити у відсотках:

Або скласти пропорцію 225 кілограмів руди так припадають на 100%, як 34,2 кг міді припадають на невідому кількість відсотків:

Або скласти пропорцію в якій відносини складені з однойменних величин:

Завдання на пряму пропорційність

Розуміння відносин однойменних величин призводить до розуміння вирішення завдань на пряму та зворотну пропорційність. Почнемо із завдань на пряму пропорційність.

Спочатку згадаємо, що таке пряма пропорційність. Це взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них тягне за собою збільшення іншої в стільки ж разів.

Якщо відстань 50 км автобус пройшов за 1 годину, то для проходження відстані 100 км (при тій же швидкості) автобусу потрібно 2 години. У скільки разів збільшилася відстань, у стільки разів збільшився час руху. Як це показати за допомогою пропорції?

Одне з призначень відношення полягає в тому, щоб показати у скільки разів перша величина більша за другу. Отже, і ми за допомогою пропорції можемо показати, що відстань і час збільшилися вдвічі. Для цього скористаємося відношенням однойменних величин.

Покажемо, що відстань збільшилася вдвічі:

Аналогічно покажемо, що час збільшився в стільки ж разів

«100 кілометрів так відносяться до 50 кілометрів, як 2 години відносяться до 1 години»

Якщо виконати розподіл в обох частинах рівності , то виявимо, що відстань і час були збільшені в однакове число разів.

2 = 2

Завдання 2. За 3 год на млині змололи 27 т пшеничного борошна. Скільки тонн пшеничного борошна можна змолоти за 9 год, якщо темп роботи не зміниться?

Рішення

Час роботи млина і маса перемеленого борошна - прямо пропорційні величини. При збільшенні часу роботи в кілька разів, кількість перемеленої муки збільшиться в стільки ж разів. Покажемо це з допомогою пропорції.

У задачі дано 3 год. Ці 3 год збільшилися до 9 год. Запишемо відношення 9 год до 3 год.

Тепер запишемо друге ставлення. Це буде відношення xтонн пшеничного борошна до 27 тонн. Дане відношення буде показувати, що кількість перемеленого борошна збільшилася в стільки ж разів, скільки і час роботи млина

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію.

Скористаємося основною властивістю пропорції та знайдемо x

Значить за 9 год можна змолоти 81 т пшеничного борошна.

Взагалі, якщо взяти дві прямо пропорційні величини і збільшити їх у однакове число разів, то відношення нового значення до старого значення першої величини дорівнюватиме відношенню нового значення до старого значення другої величини.

Так і в попередній задачі старі значення були 3 год і 27 т. Ці значення були збільшені в однакове число разів (втричі). Новими значеннями стали 9 год і 81 год. Тоді відношення нового значення часу роботи млина до старого значення дорівнює відношенню нового значення маси перемеленого борошна до старого значення

Якщо виконати поділ в обох частинах рівності, то виявимо, що час роботи млина і кількість змеленого борошна збільшилася в однакове число разів:

3 = 3

Пропорцію, яку складають до завдань на пряму пропорційність, можна описати за допомогою виразу:

Де згодом дорівнювало 81.

Завдання 2. Для 8 корів у зимовий час доярка щодня заготовляє 80 кг сіна, 96 кг коренеплодів, 120 кг силосу та 12 кг концентратів. Визначити щоденну витрату цих кормів на 18 корів.

Рішення

Кількість корів і маса кожного з кормів прямо пропорційні величини. При збільшенні кількості корів у кілька разів маса кожного з кормів збільшиться в стільки ж разів.

Складемо кілька пропорцій, які обчислюють масу кожного з кормів для 18 корів.

Почнемо із сіна. Щодня для 8 корів його заготовляють 80 кг. Тоді для 18 корів буде заготовлено xкг сіна.

Запишемо ставлення, що показує у скільки разів збільшилася кількість корів:

Тепер запишемо ставлення, що показує у скільки разів збільшилася маса сіна:

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію:

Звідси знаходимо x

Отже, для 18 корів потрібно заготовити 180 кг сіна. Аналогічно визначаємо масу коренеплодів, силосу та концентратів.

Для 8 корів щодня заготовляють 96 кг коренеплодів. Тоді для 18 корів буде заготовлено xкг коренеплодів. Складемо пропорцію з відносин і потім обчислимо значення x

Визначимо скільки силосу та концентратів потрібно заготовити для 18 корів:

Значить для 18 корів щодня потрібно заготовляти 180 кг сіна, 216 кг коренеплодів, 270 кг силосу та 27 кг концентратів.

Завдання 3. Господиня варить вишневе варення, причому на 3 склянки вишні кладе 2 склянки цукру. Скільки цукру потрібно покласти на 12 склянок вишні? на 10 склянок вишні? на склянки вишні?

Рішення

Кількість склянок вишні та кількість склянок цукрового піску – прямо пропорційні величини. При збільшенні кількості склянок вишні в кілька разів кількість склянок цукру збільшиться в стільки ж разів.

Запишемо ставлення, що показує у скільки разів збільшилася кількість склянок вишні:

Тепер запишемо ставлення, що показує у скільки разів збільшилася кількість склянок цукру:

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію та знайдемо значення x

Значить на 12 склянок вишні потрібно покласти 8 склянок цукру.

Визначимо кількість склянок цукру для 10 склянок вишні та склянки вишні

Завдання на зворотну пропорційність

Для вирішення завдань на зворотну пропорційність знову ж таки можна використовувати пропорцію, складену із відносин однойменних величин.

На відміну від прямої пропорційності, де величини збільшуються або зменшуються в ту саму сторону, у зворотній пропорційності величини змінюються назад один одному.

Якщо одна величина збільшується у кілька разів, то інша зменшується у стільки ж разів. І навпаки, якщо одна величина зменшується у кілька разів, то інша збільшується у стільки ж разів.

Припустимо, що потрібно пофарбувати паркан, що складається з 8 аркушів

Один маляр фарбуватиме всі 8 листів сам

Якщо малярів буде 2, то кожен пофарбує по 4 аркуші.

Це, звичайно, за умови, що маляри будуть чесними між собою і справедливо розділять цю роботу порівну на двох.

Якщо малярів буде 4, то кожен пофарбує по 2 аркуші

Зауважуємо, що при збільшенні кількості малярів у кілька разів, кількість листів, які припадають на одного маляра, зменшуються в стільки ж разів.

Отже, ми збільшили кількість малярів з 1 до 4. Іншими словами, збільшили кількість малярів у чотири рази. Запишемо це за допомогою відношення:

В результаті кількість листів огорожі, які припадають на одного маляра, зменшилася вчетверо. Запишемо це за допомогою відношення:

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію

«4 маляри так відносяться до 1 маляра, як 8 листів відносяться до 2 листів»

Завдання 2. 15 робітників закінчили оздоблення квартир у новому будинку за 24 дні. За скільки днів виконали б цю роботу 18 робітників?

Рішення

Кількість робітників та кількість днів, витрачених на роботу – обернено пропорційні величини. При збільшенні кількості робітників у кілька разів кількість днів, необхідних для виконання цієї роботи, зменшиться в стільки ж разів.

Запишемо ставлення 18 робітників до 15 робітників. Це ставлення показуватиме у скільки разів збільшилася кількість робітників

Тепер запишемо друге ставлення, яке показує у скільки разів зменшилася кількість днів. Оскільки кількість днів зменшиться з 24 днів до xднів, то друге відношення буде ставленням старої кількості днів (24 дні) до нової кількості днів ( xднів)

Поєднаємо отримані відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію:

Звідси знаходимо x

Значить 18 робітників виконають необхідну роботу за 20 днів.

Взагалі, якщо взяти дві назад пропорційні величини і збільшити одну з них в кілька разів, то інша зменшиться в стільки ж разів. Тоді відношення нового значення до старого значення першої величини дорівнюватиме відношенню старого значення до нового значення другої величини.

Так і в попередній задачі старі значення були 15 робітників та 24 дні. Кількість робітників було збільшено з 15 до 18 (тобто було збільшено у рази). Внаслідок цього кількість днів, необхідних для виконання роботи, зменшилася в стільки ж разів. Новими значеннями стали 18 робітників та 20 днів. Тоді відношення нової кількості робітників до старої кількості дорівнює відношенню старої кількості днів до нової кількості

Для складання пропорції до завдань на зворотну пропорційність можна скористатися формулою:

Стосовно нашого завдання значення змінних будуть наступними:

Де згодом стало 20.

Завдання 2. Швидкість пароплава відноситься до швидкості течії річки, як 36: 5. Пароплав рухався вниз протягом 5 год 10 хв. Скільки часу знадобиться йому, щоб повернутися назад?

Рішення

Власна швидкість пароплава становить 36 км/год. Швидкість течії річки 5 км/год. Оскільки пароплав рухався за течією руки, швидкість його руху становила 36 + 5 = 41 км/год. Час шляху становив 5 год 10 хв. Для зручності висловимо час у хвилинах:

5 год 10 хв = 300 хв + 10 хв = 310 хв

Оскільки на зворотному шляху пароплав рухався проти течії річки, то його швидкість становила 36 − 5 = 31 км/год.

Швидкість пароплава та час його руху – обернено пропорційні величини. При зменшенні швидкості в кілька разів час його руху збільшиться в стільки ж разів.

Запишемо ставлення, що показує у скільки разів зменшилася швидкість руху:

Тепер запишемо друге ставлення, що показує у скільки разів збільшився час руху. Оскільки новий час xбуде більше старого часу, у чисельнику відносини запишемо час x, а в знаменнику старий час, що дорівнює трьохсот десяти хвилин

Поєднаємо отримані відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію. Звідси знайдемо значення x

410 хвилин це 6 годин та 50 хвилин. Значить пароплаву потрібно 6 годин і 50 хвилин, щоб повернутися назад.

Завдання 3. На ремонті дороги працювало 15 осіб, і вони мали закінчити роботу за 12 днів. На п'ятий день вранці підійшли ще кілька робітників, і робота, що залишилася, була виконана за 6 днів. Скільки робітників прибуло додатково?

Рішення

Віднімемо з 12 днів 4 відпрацьовані дні. Так ми визначимо, скільки ще днів залишилося працювати п'ятнадцяти робітникам

12 днів − 4 дні = 8 днів

На п'ятий день додатково прибуло xробітників. Тоді всього робітників стало 15+ x .

Кількість робітників і кількість днів, необхідних для виконання роботи, — обернено пропорційні величини. При збільшенні кількості робітників у кілька разів кількість днів зменшиться в стільки ж разів.

Запишемо ставлення, що показує у скільки разів збільшилася кількість робітників:

Тепер запишемо у скільки разів зменшилася кількість днів, необхідних для виконання роботи:

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію. Звідси можна визначити значення x

Значить 5 робітників прибуло додатково.

Масштаб

Масштабом називають відношення довжини відрізка на зображенні до довжини відповідного відрізка біля.

Припустимо, що відстань від будинку до школи становить 8 км. Спробуємо намалювати план місцевості, де буде вказано будинок, школа та відстань між ними. Але зобразити на папері відстань 8 км ми не можемо, оскільки вона досить велика. Проте ми можемо зменшити цю відстань у кілька разів так, щоб вона вмістилася на папері.

Нехай кілометри на місцевості на нашому плані виражаються в сантиметрах. Переведемо 8 кілометрів на сантиметри, отримаємо 800 000 сантиметрів.

Зменшимо 800 000 см у сто тисяч разів:

800 000 см: 100 000 см = 8 см

8 см це відстань від будинку до школи, зменшена у сто тисяч разів. Тепер легко можна намалювати на папері будинок і школу, відстань між якими буде 8 см.

Ці 8 см відносяться до реальних 800 000 см. Так і запишемо за допомогою відношення:

8: 800 000

Одне з властивостей відношення свідчить, що відношення не змінюється, якщо його члени помножити або розділити на те саме число.

З метою спрощення відношення 8: 800 000 обидва його члени можна розділити на 8. Тоді отримаємо відношення 1: 100 000. Це відношення і назвемо масштабом. Це ставлення показує, що один сантиметр на плані відноситься (або відповідає) ста тисяч сантиметрів на місцевості.

Тому на малюнку необхідно вказати, що план складено в масштабі 1: 100 000

1 см на плані відноситься до 100 000 см на місцевості;
2 см на плані відноситься до 200 000 см на місцевості;
3 см на плані відноситься до 300 000 на місцевості і т.д.

До будь-якої карти або плану вказується, в якому масштабі вони зроблені. Цей масштаб дозволяє визначити реальну відстань між об'єктами.

Так, наш план складено в масштабі 1:100 000. На цьому плані відстань між будинком та школою становить 8 см. Щоб обчислити реальну відстань між будинком та школою, потрібно 8 см збільшити у 100 000 разів. Іншими словами, помножити 8 см на 100 000

8 см × 100 000 = 800 000 см

Отримуємо 800 000 см або 8 км, якщо перевести сантиметри на кілометри.

Припустимо, що між будинком та школою розташовується дерево. На плані відстань між школою та цим деревом становить 4 см.

Тоді реальна відстань між будинком та деревом буде 4 см × 100 000 = 400 000 см або 4 км.

Відстань біля можна визначати з допомогою пропорції. У нашому прикладі відстань між будинком та школою обчислюватиметься за допомогою наступної пропорції:

1 см на плані так відноситься до 100000 см на місцевості, як 8 см на плані відносяться до x см на місцевості.

З цієї пропорції дізнаємося, що значення xодно 800000 див.

Приклад 2. На карті відстань між двома містами становить 8,5 см. Визначити реальну відстань між містами, якщо картка складена в масштабі 1:1 000 000.

Рішення

Масштаб 1: 1 000 000 показує, що 1 див на карті відповідає 1 000 000 див біля. Тоді 8,5 см відповідатимуть xсм на місцевості. Складемо пропорцію 1 до 1000000 як 8,5 до x

В 1 км міститься 100 000 см. Тоді в 8 500 000 см буде

Або можна міркувати так. Відстань на карті та відстань на місцевості - прямо пропорційні величини. При збільшенні відстані на карті в кілька разів відстань на місцевості збільшиться в стільки ж разів. Тоді пропорція набуде наступного вигляду. Перше відношення показуватиме у скільки разів відстань на місцевості більша за відстань на карті:

Друге відношення покаже, що відстань на місцевості в стільки ж разів більша, ніж 8,5 см на карті:

Звідси xдорівнює 8500000 см або 85 км.

Завдання 3. Довжина річки Неви 74 км. Чому дорівнює її довжина на карті, масштаб якої 1:2 000 000

Рішення

Масштаб 1: 2000000 говорить про те, що 1 см на карті відповідає 2000000 см на місцевості.

А 74 км цього 74 × 100 000 = 7 400 000 див біля. Зменшивши 7 400 000 на 2 000 000, ми визначимо довжину річки Неви на карті

7400000: 2000000 = 3,7 см

Значить на карті, масштаб якої 1:2000000 довжина річки Неви становить 3,7 см.

Запишемо рішення за допомогою пропорції. Перше ставлення показуватиме скільки разів довжина на карті менша за довжину на місцевості:

Друге відношення показуватиме, що 74 км (7 400 000 см) зменшилися в стільки ж разів:

Звідси знаходимо xрівний 3,7 см

Завдання для самостійного вирішення

Завдання 1. З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Рішення

Нехай xкг олії можна отримати з 7 кг бавовняного насіння. Маса бавовняного насіння і маса одержуваного масла - прямо пропорційні величини. Тоді зменшення бавовняного насіння з 21 кг до 7 кг, призведе до зменшення одержуваної олії у стільки ж разів.

Відповідь:з 7 кг бавовняного насіння вийде 1,7 кг олії.

Завдання 2. На деякій ділянці залізничної колії старі рейки довжиною 8 м замінили новими довжиною 12 м. Скільки знадобиться нових дванадцятиметрових рейок, якщо зняли 360 старих рейок?

Рішення

Довжина ділянки, на якій проводиться заміна рейок, дорівнює 8 × 360 = 2880 м.

Нехай xдванадцятиметрових рейок потрібно замінити. Збільшення довжини однієї рейки з 8 м до 12 м призведе до зменшення кількості рейок з 360 до xштук. Іншими словами, довжина рейки та їх кількість пов'язані назад пропорційною залежністю

Відповідь:для заміни старих рейок потрібно 240 нових.

Завдання 3. 60% учнів класу пішли у кіно, а решта 12 осіб – на виставку. Скільки учнів у класі?

Рішення

Якщо 60% учнів пішли у кіно, а решта 12 осіб на виставку, то на 40% учнів і припадатиме 12 осіб, які пішли на виставку. Тоді можна скласти пропорцію в якій 12 учнів так відносяться до 40%, як усі xучнів відносяться до 100%

Або можна скласти пропорцію, що складається з відносин однойменних величин. Кількість учнів та відсоткова частка змінюються прямо пропорційно. Тоді можна записати, що у скільки разів збільшилась кількість учасників у стільки ж разів збільшилась відсоткова частка

Завдання 5. Пішохід витратив шлях 2,5 год, рухаючись зі швидкістю 3,6 км/год. Скільки часу витратить пішохід на той самий шлях, якщо його швидкість буде 4,5 км/год.

Рішення

Швидкість і час – обернено пропорційні величини. При збільшенні швидкості в кілька разів час руху зменшиться в стільки ж разів.

Запишемо ставлення, що показує, скільки разів збільшилася швидкість руху пішохода:

Запишемо ставлення, що показує, що час руху зменшилося в стільки ж разів:

Поєднаємо ці відносини знаком рівності, отримаємо пропорцію та знайдемо значення x

Або можна скористатися відносинами однойменних величин. Кількість випущених верстатів та відсоткова частка, на які ці верстати припадають, пов'язані прямо пропорційною залежністю. При збільшенні кількості верстатів у кілька разів, процентна частка збільшується у стільки ж разів. Тоді можна записати, що 230 верстатів у стільки разів більше, ніж xверстатів, у скільки разів більше 115%, ніж 100%

Відповідь:за планом завод мав випустити 200 верстатів.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Завдання 1. Товщина 300 аркушів паперу для принтера становить 3, 3 см. Яку товщину матиме пачка з 500 аркушів такого самого паперу?

Рішення.Нехай х см – товщина пачки паперу із 500 аркушів. Двома способами знайдемо товщину одного аркуша паперу:

3,3: 300 або х : 500.

Оскільки аркуші паперу однакові, ці два відносини рівні між собою. Отримуємо пропорцію ( нагадування: пропорція - це рівність двох відносин):

х = (3,3 · 500): 300;

х = 5,5. Відповідь:пачка 500 листів паперу має товщину 5,5 см.

Це класичне міркування та оформлення розв'язання задачі. Такі завдання часто включають до тестових завдань для випускників, які зазвичай записують рішення в такому вигляді:

або вирішують усно, розмірковуючи так: якщо 300 листів мають товщину 3,3 см, то 100 листів мають товщину в 3 рази меншу. Ділимо 3,3 на 3, отримуємо 1,1 см. Це товщина 100 листової пачки паперу. Отже, 500 листів матимуть товщину в 5 разів більшу, тому 1,1 см множимо на 5 і отримуємо відповідь: 5,5 см.

Зрозуміло, що це виправдано, оскільки час тестування випускників та абітурієнтів обмежений. Однак, на цьому занятті ми міркуватимемо і записуватимемо рішення так, як належить це робити в 6 класі.

Завдання 2.Скільки води міститься в 5 кг кавуна, якщо відомо, що кавун складається з 98% води?

Рішення.

Вся вага кавуна (5 кг) становить 100%. Вода становитиме х кг або 98%. Двома способами можна визначити, скільки кг припадає на 1% маси.

5: 100 або х : 98. Отримуємо пропорцію:

5: 100 = х : 98.

х = (5 · 98): 100;

х = 4,9 Відповідь: у 5кгкавуна міститься 4,9 кг води.

Маса 21 літра нафти складає 16,8 кг. Яка маса 35 літрів нафти?

Рішення.

Нехай маса 35 літрів нафти становить x кг. Тоді двома способами можна знайти масу 1 літра нафти:

16,8: 21 або х : 35. Отримуємо пропорцію:

16,8: 21=х : 35.

Знаходимо середній член пропорції. Для цього перемножуємо крайні члени пропорції ( 16,8 і 35 ) і ділимо на відомий середній член ( 21 ). Скоротимо дріб на 7 .

Помножуємо чисельник і знаменник дробу на 10 щоб у чисельнику і знаменнику були тільки натуральні числа. Скорочуємо дріб на 5 (5 і 10) та на 3 (168 та 3).

Рівність двох відносин називають пропорцією.

a :b =c :d. Це пропорція. Читають: атак ставиться до b, як cвідноситься до d. Числа aі dназивають крайнімичленами пропорції, а числа bі c – середнімичленами пропорції.

Приклад пропорції: 1 2 : 3 = 16 : 4 . Це рівність двох відносин: 12:3 = 4 та 16:4= 4 . Читають: дванадцять так відноситься до трьох, як шістнадцять відноситься до чотирьох. Тут 12 і 4 крайні члени пропорції, а 3 і 16 - середні члени пропорції.

Основна властивість пропорції.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів.

Для пропорції a :b =c :dабо a / b = c / dосновна властивість записується так: a d = b c .

Для нашої пропорції 12:3 = 16:4 основна властивість запишеться так: 12·4 = 3·16 . Виходить правильна рівність: 48 = 48 .

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, потрібно твір середніх пропорцій розділити на відомий крайній член.

приклади.

1) х: 20 = 2: 5. У нас хі 5 - крайні члени пропорції, а 20 і 2 - Середні.

Рішення.

х = (20 · 2): 5- Треба перемножити середні члени ( 20 і 2 ) і результат розділити на відомий крайній член (число 5 );

х = 40: 5- Добуток середніх членів ( 40 ) розділимо на відомий крайній член ( 5 );

х = 8.Отримали потрібний крайній член пропорції.

Найзручніше записувати знаходження невідомого члена пропорції за допомогою звичайного дробу. Ось як тоді запишеться розглянутий нами приклад:

Шуканий крайній член пропорції ( х) дорівнюватиме добутку середніх членів ( 20 і 2 ), поділеному на відомий крайній член ( 5 ).

Скорочуємо дріб на 5 (ділимо на 5 х.

Ще такі приклади знаходження невідомого крайнього члена пропорції.

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, потрібно добуток крайніх членів пропорції розділити відомий середній член.

приклади.Знайти невідомий середній член пропорції.

5) 9: х = 3: 14.Число 3 - Відомий середній член цієї пропорції, числа 9 і 14 - Крайні члени пропорції.

Рішення.

х = (9 · 14): 3 -перемножимо крайні члени пропорції та результат розділимо на відомий середній член пропорції;

х = 136:3;

х = 42.

Рішення цього прикладу можна записати інакше:

Шуканий середній член пропорції ( х) дорівнюватиме добутку крайніх членів ( 9 і 14 ), поділеному на відомий середній член ( 3 ).

Скорочуємо дріб на 3 (ділимо на 3 і чисельник та знаменник дробу). Знаходимо значення х.

Якщо забули, як скорочувати прості дроби, то повторіть тему: « »

Ще такі приклади знаходження невідомого середнього члена пропорції.

Сторінка 1 з 1 1

З погляду математики, пропорцією є рівність двох відносин. Взаємозалежність й у всіх частин пропорції, як і його постійний результат. Зрозуміти, як скласти пропорцію можна, ознайомившись із властивостями та формулою пропорції. Щоб розібратися з принципом розв'язання пропорції, достатнім буде розглянути один приклад. Тільки безпосередньо вирішуючи пропорції, можна легко та швидко навчитися цим навичкам. А ця стаття допоможе читачеві в цьому.

Властивості пропорції та формула

1. Звернення пропорції. У разі коли задана рівність виглядає як 1a: 2b =3c: 4d, записують 2b: 1a = 4d: 3c. (Причому 1a, 2b, 3c та 4d є простими числами, відмінними від 0).
2. Перемноження заданих членів пропорції навхрест. У буквеному виразі це має такий вигляд: 1a: 2b = 3c: 4d, а запис 1a4d = 2b3c буде йому рівносильним. Таким чином, добуток крайніх частин будь-якої пропорції (числа по краях рівності) завжди є рівним добутку середніх частин (чисел, розташованих посередині рівності).
3. При складанні пропорції може стати в нагоді і таку її властивість, як перестановка крайніх і середніх членів. Формулу рівності 1a: 2b = 3c: 4d можна відобразити такими варіантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (коли переставляють середні члени пропорції).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (коли переставляють крайні члени пропорції).
4. Прекрасно допомагає у вирішенні пропорції її властивість збільшення та зменшення. При 1a: 2b = 3c: 4d записують:
   • (1a + 2b): 2b = (3c + 4d): 4d (рівність зі збільшенням пропорції).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (рівність зменшення пропорції).
5. Скласти пропорцію можна додаванням і відніманням. Коли пропорція записана як 1a: 2b = 3c: 4d, тоді:
   • (1a + 3с): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена додаванням).
   • (1a – 3с): (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорція складена відніманням).
6. Також, при вирішенні пропорції, що містить дробові чи великі числа, можна розділити або помножити обидва її члени на однакове число. Наприклад, складові пропорції 70:40=320:60, можна записати так: 10*(7:4=32:6).
7. Варіант вирішення пропорції із відсотками виглядає так. Наприклад, записують, 30 = 100%, 12 = x. Тепер слід перемножити середні члени (12*100) та розділити на відомий крайній (30). Отже, виходить відповідь: x=40%. Подібним способом можна за необхідності здійснювати перемноження відомих крайніх членів і ділити їх на задане середнє число, отримуючи результат, який шукає.

Якщо Вас цікавить конкретна формула пропорції, то в найпростішому та найпоширенішому варіанті пропорція являє собою таку рівність (формулу): a/b = c/d, в ньому a, b, c і d є відмінними від нуля чотирма числами.