https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системи Урок 1
Нерівності з двома змінними Нерівності 3х – 4у 0; і є нерівностями з двома змінними х та у. Розв'язанням нерівності з двома змінними називається пара значень змінних, що перетворює його на правильну числову нерівність. При х = 5 і у = 3 нерівність 3х - 4у 0 звертається у правильну числову нерівність 3 0. Пара чисел (5; 3) є розв'язанням даної нерівності. Пара чисел (3;5) перестав бути його рішенням.
Чи є пара чисел (-2; 3) розв'язанням нерівності: № 482 (б, в) Не є
Рішенням нерівності називається впорядкована пара дійсних чисел, що звертає цю нерівність у правильну числову нерівність. Графічно це відповідає заданню точки координатної площини. Вирішити нерівність - значить знайти безліч його рішень
Нерівності з двома змінними мають вигляд: Безліч розв'язання нерівності - сукупність усіх точок координатної площини, що задовольняють задану нерівність.
Множини розв'язання нерівності F(x,y) ≥ 0 х у F(x,y)≤0 х у
F(x, y)>0 F(x, y)
Правило пробної точки Побудувати F(x ; y)=0 Взявши з якоїсь області пробну точку встановити, чи є її координати рішенням нерівності Зробити висновок про розв'язання нерівності х у 1 1 2 А(1;2) F(x ; y) =0
Лінійні нерівності з двома змінними Лінійною нерівністю з двома змінними називається нерівність виду ax + bx + c 0 або ax + bx + c
Знайдіть помилку! № 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Розв'язати графічно нерівність: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Будуємо суцільними лініями графіки:
Визначимо знак нерівності в кожній з областей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Розв'язання нерівності - безліч точок, з областей, що містять знак плюс і розв'язання рівняння -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Вирішуємо разом № 485 (б) № 486 (б, г) № 1. Задайте нерівністю і зобразіть на координатній площині безліч точок, у яких: а) абсцису більше за ординату; б) сума абсциси та ординати більша за їх подвоєну різницю.
Вирішуємо разом № 2. Задайте нерівністю відкриту напівплощину, розташовану вище за пряму АВ, що проходить через точки А(1;4) і В(3;5). Відповідь: у 0,5х +3,5 № 3. При яких значеннях b безліч розв'язків нерівності 3х – b у + 7 0 є відкритою напівплощиною, розташованою вище прямої 3х – b у + 7 = 0. Відповідь: b 0.
Домашнє завдання П. 21 № 483; № 484 (в, г); № 485(а); № 486(в).
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системи Урок 2
Системи нерівностей із двома змінними
Розв'язанням системи нерівностей із двома змінними називається пара значень змінних, яка кожна з нерівностей системи у правильну числову нерівність. № 1. Зобразити безліч розв'язків систем нерівностей. № 496 (усно)
а) x у 2 2 x у 2 2 б)
Вирішуємо разом № 1. За яких значень k система нерівностей задає на координатній площині трикутник? Відповідь: 0
Розв'язуємо разом x у 2 2 2 2 № 2. На малюнку зображено трикутник з вершинами А(0;5), В(4;0), С(1;-2), D(-4;2). Встановіть цей чотирикутник системою нерівностей. А В З D
Вирішуємо разом № 3. При яких k і b безліччю точок координатної площини, що задається системою нерівностей, є: а) смуга; б) кут; в) порожня множина. Відповідь: а) k= 2,b 3; б) k ≠ 2, b – будь-яке число; в) k = 2; b
Вирішуємо разом № 4. Яка фігура задається рівнянням? (усно) 1) 2) 3) № 5. Зобразіть на координатній площині безліч розв'язків точок, що задається нерівністю.
Вирішуємо разом № 497(в, г), 498(в)
Домашнє завдання П.22 №496, №497(а,б), №498(а,б), №504.
Попередній перегляд:
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Нерівності з двома змінними та їх системою Урок 3
Знайдіть помилку! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Знайдіть помилку! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2
Визначте нерівність 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Визначте нерівність
0 - 3 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 Визначте знак нерівності ≤
Розв'язати графічно систему нерівностей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1
Нерівності та системи нерівностей вищих ступенів із двома змінними № 1. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Нерівності та системи нерівностей вищих ступенів із двома змінними № 2. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Нерівності та системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними № 3. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей Перетворимо першу нерівність системи:
Нерівності та системи нерівностей вищих ступенів з двома змінними Отримаємо рівносильну систему
Нерівності та системи нерівностей вищих ступенів із двома змінними № 4. Зобразіть на координатній площині безліч точок, що задаються системою нерівностей
Вирішуємо разом №502 Збірник Галицького. № 9.66 б) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
. № 9.66(в) Вирішуємо разом 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2
Вирішуємо разом № 9.66(г) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y|
Розв'язати нерівність: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1
0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Запишіть систему нерівностей
11:11 3) Яку фігуру задає безліч розв'язків системи нерівностей? Знайдіть площу кожної фігури. 6) Скільки пар натуральних чисел є розв'язками системи нерівностей? Обчисліть суму всіх таких чисел. Розв'язання тренувальних вправ 2) Запишіть систему нерівностей із двома змінними, безліч розв'язків якої зображено на малюнку 0 2 х у 2 1) Зобразіть на координатній площині безліч розв'язків системи: 4) Задайте системою нерівностей кільце, зображене на малюнку. 5) Розв'яжіть систему нерівностей у х 0 5 10 5 10
Розв'язання тренувальних вправ 7) Обчисліть площу фігури, задану безліччю розв'язків системи нерівностей і знайдіть найбільшу відстань між точками цієї фігури 8) При якому значенні m система нерівностей має тільки одне рішення? 9)Вкажіть якісь значення k і b , у яких система нерівностей задає координатної площині: а) смугу; б) кут.
Це цікаво Англійський математик Томас Гарріот (Harriot T., 1560-1621) ввів знайомий нам знак нерівності, аргументуючи його так: "Якщо символом рівності служать два паралельні відрізки, то символом нерівності повинні бути відрізки, що перетинаються". В 1585 молодий Гарріот був посланий королевою Англії в дослідницьку експедицію по Північній Америці. Там він побачив популярне серед індіанців татуювання у вигляді Ймовірно тому Гарріот запропонував знак нерівності у двох його видах: ">" більше, ніж…
Це цікаво Символи ≤ і ≥ не суворого порівняння запропонував Валліс у 1670 році. Спочатку риса була вищою за знак порівняння, а не під ним, як зараз. Загальне поширення ці символи набули після підтримки французького математика П'єра Бугера (1734), у якого вони набули сучасного вигляду.
1. Нерівності із двома змінними. Способи розв'язання системи двох нерівностей із двома змінними: аналітичний спосіб та графічний спосіб.
2. Системи двох нерівностей із двома змінними: запис результату рішення.
3. Сукупності нерівностей із двома змінними.
НЕРАВЕНСТВА ТА СИСТЕМИ НЕРАВЕНСТВ З ДВОМА ЗМІННИМИ. Предикат виду f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - вирази зі змінними х і у, визначені на множині ХхУ називається нерівністю з двома змінними (з двома невідомими)х та у.Зрозуміло, що будь-яку нерівність виду із двома змінними можна записати у вигляді f(х, у) > 0, ХХХ, УВ У. Розв'язанням нерівностіз двома змінними називається пара значень змінних, що обертає нерівність у правильну числову нерівність.Відомо, що пара дійсних чисел (х, у)однозначно визначає точку координатної площини. Це дає можливість зобразити розв'язання нерівності або системи нерівностей із двома змінними геометрично, у вигляді деякої множини точок координатної площини. Якщо рівняння.
f(х, у)= 0 визначає деяку лінію на координатній площині, то безліч точок площини, що не лежать на цій лінії, складається з кінцевого числа областей С₁, З 2 ,..., З п(Рис. 17.8). У кожній із областей С, функція f(х, у)відмінна від нуля, т.к. точки, в яких f(х, у)= 0 належать межам цих областей.
Рішення.Перетворимо нерівність до виду х > у 2 + 2у - 3. Побудуємо на координатній площині параболу х= у 2 + 2у - 3. Вона розіб'є площину на дві області G₁ та G 2 (Рис. 17.9). Так як абсцис будь-якої точки, що лежить правіше параболи х= у 2 + 2у- 3, більше, ніж абсцису точки, що має ту ж ординату, але лежить на параболі, і т.к. нерівність х>у г + 2у -3Нестрого, то геометричним зображенням рішень даної нерівності буде безліч точок площини, що лежать на параболі х= у 2+ 2у - 3 і правіше за неї (рис. 17.9).
| Мал. 17.9 |
Мал. 17.10
Приклад 17.15. Зобразіть на координатній площині безліч розв'язків системи нерівностей
у > 0,
ху > 5,
х + у<6.
Рішення.Геометричним зображенням розв'язання системи нерівностей х > 0, у > 0 є множина точок першого координатного кута. Геометричним зображенням розв'язків нерівності х + у< 6 або у< 6 - хє безліч точок, що лежать нижче прямої і на прямій, що служить графіком функції у = 6 - х.Геометричним зображенням розв'язків нерівності ху > 5або, оскільки х> 0 нерівності у > 5/хє безліч точок, що лежать вище гілки гіперболи, що є графіком функції у = 5/х.У результаті отримуємо безліч точок координатної площини, що лежать у першому координатному кутку нижче прямої, що служить графіком функції у = 6 - х, і вище гілки гіперболи, що служить графіком функції у = 5х(Рис. 17.10).
Розділ III. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І НОЛЬ
Нерівності, що містять змінну, займають основну частку у загальному обсязі вивчення теми «Нерівності» шкільної програми математики та алгебри. Ця стаття містить базовий матеріал: визначення поняття нерівності зі змінними та його рішень, спосіб запису рішень нерівностей. Також для наочності наведемо вирішення практичних завдань.
Визначення нерівностей зі змінними
Числові нерівності ми розібрали у відповідній статті, з'ясувавши, що числовими нерівностями є два числові вирази, між якими є який-небудь із знаків нерівності. Замінивши хоча б один із числових виразів виразом зі змінною, ми отримаємо нерівність зі змінними. Таке визначення дано за записом подібних нерівностей. Виділяють нерівності з однією, двома, трьома та великою кількістю змінних за кількістю змінних, що використовуються в записі нерівності.
Нерівності з однією змінною
Визначення 1Нерівність з однією змінною– це нерівність, у запису якої використовується одна змінна.
Наприклад, k< 7 – неравенство с одной переменной k ; 8 ≥ d 2 – 3 – неравенство с одной переменной d . При этом возможно, что переменная будет участвовать в записи несколько раз, например:
((2 · x - 5 · t 2) · (t - 1)< 1 t или t - 1 + 4 ≥ 1 t - t 3 t + 3
Нерівності з двома змінними
Визначення 2Нерівність із двома змінними– це нерівність, у записі якої використовуються дві неоднакові змінні.
Наприклад, m 3 + 1 5 · n 2 > 13 - нерівність з двома змінними m і n;
(f + 2 · g) 3 7 + 3< 7 - f f 2 + 1 – неравенство с двумя переменными f и g .
По запису нерівності з двома змінними схожі з нерівностями з параметром та однією змінною. Але тоді, як правило, в умовах завжди вказується, які літери є позначенням параметрів, тому питання про те, скільки змінних у заданій нерівності, зазвичай не виникає.
Нерівності з трьома чи більше змінними
Визначення 3Нерівності з трьома, чотирма і т.д. змінними- Це нерівності, в записі яких використовуються три, чотири і т.д. змінних.
У шкільній програмі подібні нерівності трапляються рідко, проте існують. Наприклад, куля, радіус якої дорівнює 2 і центр якої збігається з початком координат, можна визначити нерівністю з трьома змінними: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
Вирішення нерівності: приватне, загальне та просте рішення
Визначення 4Вирішення нерівності з однією змінною- Таке значення змінної, яке звертає вихідну нерівність у правильну числову нерівність.
Як приклад візьмемо просте нерівність виду y > 9 . Нехай y = 13 . Підставимо це значення у вихідну нерівність і отримаємо числову нерівність 13 > 9 . Воно є вірним, а значить є рішенням вихідної нерівності y > 9 . А ось число y = 5 не стане розв'язанням цієї нерівності, оскільки, підставивши таке значення змінної, ми отримаємо неправильну числову нерівність: 5 > 9 .
Логічним наслідком є питання можливої кількості рішень конкретної нерівності. Зазначимо, що нерівність з однією змінною може мати рішень, мати кінцеве кількість рішень чи мати нескінченно багато рішень. Ми розглянемо це твердження, що має велику значущість у практиці, детальніше у вивченні самого процесу знаходження рішень нерівностей.
Резюмуємо:
- нерівність може мати рішень. Наприклад: z 2< - 2 . В самом деле, при любом действительном значении переменной z , мы будем иметь неверное числовое неравенство, опираясь на то, что, согласно свойствам степени, квадрат любого числа является неотрицательным числом. Оно, в свою очередь, никак не может быть меньше - 2 .
- нерівність може лише одне рішення. Наприклад, нерівність f = 1 ≤ 0 має рішення f = 1 і воно єдине;
- нерівність може мати кінцеву кількість рішень: три, шість тощо. Як приклад, розглянемо нерівність | x 2 – 1 | ≤ 0, рішень якого існує рівно два: 1 і - 1;
- нерівність може мати безліч рішень. Наприклад: t> 5 . Рішенням цієї нерівності стане будь-яке дійсне число, більше 5: 13, 87, 601, 8 2 5 і т.п.
Все сказане вище правильне і для нерівностей з двома, трьома і більш змінними.
Визначення 5
Вирішення нерівності з двома змінними– це пара значень заданих змінних, у яких вихідне нерівність зі змінними перетворюється на правильне числове нерівність.
Як приклад розглянемо нерівність із двома змінними y та z: y + 1 > 2 · z . Пара значень змінних y і z: 1 і 0 відповідно є рішенням заданої нерівності, оскільки підставивши їх, ми отримаємо правильну числову нерівність: 1 + 1 > 2 · 0 . У той самий час пара значень y = 2 , z = 4 служитиме рішенням вихідної нерівності: їх підстановка створить неправильне числове нерівність 2 + 1 > 2 · 4 .
Пара значень змінних часто записується в дужках на кшталт координат точок у прямокутній системі координат. Наприклад, для вищезгаданого прикладу рішення запишеться так: (1, 0) .
Все сказане вище правильне й у нерівностей з великою кількістю змінних.
Визначення 6
Вирішення нерівності з трьома, чотирма та більш змінними– це трійка, четвірка тощо. значень заданих змінних, у яких вихідне нерівність перетворюється на правильне числове нерівність.
Наприклад, розглянемо нерівність із чотирма змінними a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 36 . Четвірка значень цих змінних, такі як: a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 є рішенням вихідної нерівності, оскільки, підставивши їх, ми отримаємо правильну числову нерівність: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ≤ 36 .
Також розглянемо такі поняття як "приватне рішення нерівності" та "загальне рішення нерівності".
Визначення 7
Наприклад, 17 – приватне вирішення нерівності m< 101 . Еще одним частным решением указанного неравенства будет число 7 .
Визначення 8
Загальне вирішення нерівності- Безліч всіх приватних рішень вихідної нерівності.
Розглянемо на тому ж прикладі: m< 101 . Общим решением этого неравенства будет множество чисел, меньших 101 .
Незважаючи на частоту використання зазначеної термінології, все ж таки набагато частіше застосовують поняття розв'язання нерівності без якихось уточнень, наділяючи при цьому змістом загального рішення. У разі коли необхідно визначити окреме рішення, у вихідному завданні так і вказують.
Навичка запису загального рішення нерівності необхідний формування відповіді під час вирішення завдань. Спочатку розберемо прийняті правила запису з прикладу розв'язків нерівностей з однією змінною.
Нагадаємо, що розв'язання нерівності з однією змінною – це чи число, чи безліч чисел, тобто. числове безліч.
Визначення 9
Коли рівність не має рішень, пишуть буквально – «ні рішень», або застосовують знак порожньої множини ∅ .
Коли загальне рішення – одне число, Так його і записують: 2, - 1, 15 чи 8 17 . А також можна укласти його у фігурні дужки.
Коли загальне рішення – кілька чисел(при цьому їх небагато), потрібно або записати їх по черзі, відділивши комою або крапкою з комою, або через кому, уклавши у фігурні дужки. Наприклад: 6, 12, 4 5 або (6, 12, 4 5).
Нарешті, коли загальне рішення включає нескінченно багато рішень, то застосовують загальноприйняті позначення множин натуральних чисел (N), цілих чисел (N), раціональних чисел (Q), дійсних чисел (R), а також числових проміжків, множин окремих чисел і т.п. У практиці найчастіше зустрічаються найпростіші нерівності та числові проміжки. Нехай рішенням деякої нерівності стануть: число 3 , напівінтервал (5 ; 9 ) і промінь [ 13 ; + ∞) , Тоді відповідь запишеться так: 3 , (5 , 9 ) , [ 13 , + ∞) , або: 5 , 9 ] ꓴ [ 13 , + ∞) , або: x = 3 , 5< x ≤ 9 , x ≥ 13 .
Щоб записати загальне рішення нерівності з двома, трьома та більше змінними при невеликій кількості рішень, перераховують їх усі; або роблять опис множин змінних. Наприклад, d – будь-яке ціле число, s дорівнює 0 або 1 t = - 3 m = 17 .
Найчастіше рішення для нерівності із двома змінними не записують, а «замальовують», зображуючи рішення нерівності на координатній площині. Нехай задано нерівність: 2 · х - у ≥ 5; його рішення - всі точки, розташовані на і нижче прямої, що визначається формулою: у = 2 · х - 5 .
Розв'язанням нерівності з трьома змінними стане кілька точок тривимірного простору.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Якщо у шкільному курсі математики та алгебри окремо виділити тему «нерівності», то основну частину часу осягають ази роботи з нерівностями, які містять у своєму записі змінну. У цій статті ми розберемо, що таке нерівності зі змінними, скажемо, що називають їх розв'язанням, а також розберемося, як записуються розв'язки нерівностей. Для пояснення наводимо приклади та необхідні коментарі.
Навігація на сторінці.
Що таке нерівності зі змінними?
Наприклад, якщо нерівність не має рішень, то так і пишуть «ні рішень» або використовують знак порожньої множини ∅.
Коли загальним рішенням нерівності є одне число, його і так і записують, наприклад, 0 , -7,2 або 7/9 , а іноді ще укладають у фігурні дужки.
Якщо рішення нерівності представляється декількома числами та їх кількість невелика, їх просто перераховують через кому (або через точку з комою), або записують через кому у фігурних дужках. Наприклад, якщо загальне рішення нерівності з однією змінною становлять три числа -5, 1,5 і 47, то записують -5, 1,5, 47 або (-5, 1,5, 47).
А для запису рішень нерівностей, що мають безліч рішень використовують як прийняті позначення множин натуральних, цілих, раціональних, дійсних чисел виду N , Z , Q і R , позначення числових проміжків і множин окремих чисел, найпростіші нерівності, так і опис множини через характеристичну властивість і всі не названі способи. Але на практиці найчастіше користуються найпростішими нерівностями та числовими проміжками. Наприклад, якщо рішенням нерівності є число 1, напівінтервал (3, 7] і промінь, ∪; під ред. С. А. Теляковського. - 16-е вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Вирішення нерівності з двома змінними, а тим більше системи нерівностей із двома змінними, Видається досить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко і без особливих зусиль вирішувати, на перший погляд, дуже складні завдання такого роду. Спробуємо розібратися в ньому.
Нехай ми маємо нерівність із двома змінними одного з наступних видів:
y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).
Для зображення множини рішень такої нерівності на координатній площині надходять таким чином:
1. Будуємо графік функції y = f(x), який розбиває площину дві області.
2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей та розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідної нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильна числова нерівність, то укладаємо, що вихідна нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Отже, безліччю розв'язків нерівності – область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить неправильна числова нерівність, то безліч рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.
3.
Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), не включають безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність несувора, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), включають безліч рішень даної нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.
Завдання 1.
Яка безліч точок задається нерівністю x · y ≤ 4?
Рішення.
1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x у даному випадку не звертається до 0, тому що інакше ми б мали 0 · y = 4, що неправильно. Отже, можемо поділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4/x. Графіком цієї функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи та ту, що зовні їх.
2) Виберемо з першої області довільну точку, хай це буде точка (4; 2).
Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 – неправильно.
Отже, точки даної області не задовольняють вихідну нерівність. Тоді можемо дійти невтішного висновку у тому, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.
3) Оскільки нерівність несувора, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4/x, малюємо суцільною лінією.
Зафарбуємо безліч точок, що задає вихідну нерівність, жовтим кольором (Рис. 1).
Завдання 2.
Зобразити область, задану на координатній площині системою
(Y> x 2 + 2;
(y + x> 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9).
Рішення.
Будуємо для початку графіки наступних функцій (Рис. 2):
y = x 2 + 2 – парабола,
y + x = 1 – пряма
x 2 + y 2 = 9 – коло.
1) y> x 2 + 2.
Беремо точку (0; 5), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 5 > 0 2 + 2 – правильно.
Отже, всі точки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першу нерівність системи. Зафарбувати їх жовтим кольором.
2) y + x > 1.
Беремо точку (0; 3), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 3 + 0 > 1 – правильно.
Отже, всі точки, що лежать вище за пряму y + x = 1, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх зеленою штрихуванням.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Беремо точку (0; -4), що лежить поза колом x 2 + y 2 = 9.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправильно.
Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 9, 
не задовольняють третю нерівність системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбуємо їх фіолетовим штрихуванням.
Не забуваємо у тому, що й нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (Рис. 3).
(Рис. 4).
Завдання 3.
Зобразити область, задану на координатній площині системою:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4).
Рішення.
Будуємо для початку графіки наступних функцій: 
x 2 + y 2 = 16 – коло,
x = -y - Пряма
x 2 + y 2 = 4 – коло (рис. 5).
Тепер розбираємося з кожною нерівністю окремо.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Беремо точку (0; 0), що лежить усередині кола x 2 + y 2 = 16.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – вірно.
Отже, всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 16, задовольняють першу нерівність системи.
Зафарбуємо їх червоним штрихуванням. 
Беремо точку (1; 1), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 1 ≥ -1 – вірно.
Отже, всі точки, що лежать вище за пряму x = -y, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх синім штрихуванням.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Беремо точку (0; 5), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 4.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – правильно.
Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 4, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбувати їх блакитним кольором.
У цій задачі всі нерівності несуворі, отже, всі межі малюємо суцільною лінією. Отримуємо наступну картинку (Рис. 6).
Шукана область - це область, де всі три розфарбовані області перетинаються один з одним (рис 7).
Залишились питання? Не знаєте, як вирішити систему нерівностей із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
