На цьому уроці ми розпочнемо вивчення систем нерівностей. Спочатку розглядатимемо системи лінійних нерівностей. На початку уроку розглянемо, звідки і для чого виникають системи нерівностей. Далі вивчимо, що означає вирішити систему, і згадаємо об'єднання та перетин множин. Насамкінець вирішуватимемо конкретні приклади на системи лінійних нерівностей.

Тема: Раціональні нерівності та їх системи

Урок:ОсновніПоняття, розв'язання систем лінійних нерівностей

Досі ми вирішували окремі нерівності та застосовували до них метод інтервалів, це могли бути і лінійні нерівності, і квадратні та раціональні. Тепер перейдемо до вирішення систем нерівностей – спочатку лінійних систем. Подивимося з прикладу, звідки береться необхідність розглядати системи нерівностей.

Знайти область визначення функції

Знайти область визначення функції

Функція існує, коли існують обидва квадратні корені, тобто.

Як вирішувати таку систему? Необхідно знайти всі x, що задовольняють і першу і другу нерівність.

Зобразимо на осі ox безліч розв'язків першої та другої нерівності.

Проміжок перетину двох променів і є наше рішення.

Такий метод зображення розв'язання системи нерівностей іноді називають методом дахів.

Рішенням системи є перетин двох множин.

Зобразимо це графічно. Маємо безліч А довільної природи і безліч Довільної природи, які перетинаються.

Визначення: Перетином двох множин А і В називається така третя множина, яка складається з усіх елементів, що входять і в А і В.

Розглянемо на конкретних прикладах розв'язання лінійних систем нерівностей, як знаходити перетину множин рішень окремих нерівностей, що входять до системи.

Вирішити систему нерівностей:

Відповідь: (7; 10].

4. Вирішити систему

Звідки може взятися друга нерівність системи? Наприклад, з нерівності

Графічно позначимо розв'язання кожної нерівності та знайдемо проміжок їхнього перетину.

Таким чином, якщо ми маємо систему, в якій одна з нерівностей задовольняє будь-яке значення x, то її можна виключити.

Відповідь: система суперечлива.

Ми розглянули типові опорні завдання, яких зводиться рішення будь-якої лінійної системи нерівностей.

Розглянемо таку систему.

7.

Іноді лінійна система задається подвійною нерівністю, розглянемо такий випадок.

8.

Ми розглянули системи лінійних нерівностей, зрозуміли, звідки вони з'являються, розглянули типові системи, яких зводяться всі лінійні системи, і вирішили деякі з них.

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Навч. Для загальноосвіт. Установ.- 4-те вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-192 с.: Іл.

2. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл.

3. Макарічев Ю. Н. Алгебра. 9 клас: навч. для учнів загальноосвіт. установ / Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, І. Є. Феоктистів. - 7-е вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008.

4. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 клас. 16-те вид. – М., 2011. – 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е вид., Стер. - М.: 2010. - 224 с.: іл.

6. Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мішустіна та ін; За ред. А. Г. Мордковіча. - 12-е вид., Випр. - М.: 2010.-223 с.: іл.

1. Портал Природних Наук ().

2. Електронний навчально-методичний комплекс для підготовки 10-11 класів до вступних іспитів з інформатики, математики, російської мови.

4. Центр освіти "Технологія навчання" ().

5. Розділ College.ru з математики ().

1. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл.: Задачник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мішустіна та ін - 4-е вид. - М.: Мнемозіна, 2002.-143 с.: Іл. № 53; 54; 56; 57.

Стаття розкриває тему нерівностей, розбираються визначення систем та його вирішення. Будуть розглянуті приклади розв'язання систем рівнянь у школі на алгебрі, що часто зустрічаються.

Визначення системи нерівностей

Системи нерівностей визначають за визначенням систем рівнянь, отже, що особливу увагу приділяється записам та змісту самого рівняння.

Визначення 1

Системою нерівностейназивають запис рівнянь, об'єднаних фігурною дужкою з безліччю рішень одночасно всім нерівностей, які входять у систему.

Нижче наведено приклади нерівностей. Дано дві нерівності 2 · x − 3 > 0 і 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необхідно записати одне рівняння під іншим, після чого об'єднаємо за допомогою фігурної дужки:

2 · x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 · x - 11

Так само визначення систем нерівностей представлені у шкільних підручниках як використання однієї змінної, і двох.

Основні види системи нерівностей

Наявне складання нескінченного безлічі систем нерівностей. Їх класифікують за групами, що відрізняються за певними ознаками. Нерівності поділяють за критеріями:

• кількість нерівностей системи;
• кількість змінних записів;
• вид нерівностей.

Кількість нерівностей, що входять, може налічувати від двох і більше. У попередньому пункті розглядався приклад розв'язання системи із двома нерівностями.

2 · x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 · x - 11

Розглянемо розв'язання системи із чотирма нерівностями.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 · y 2

Вирішення нерівності окремо не говорить про вирішення системи загалом. Для вирішення системи необхідно задіяти всі наявні нерівності.

Такі системи нерівностей можуть мати одну, дві, три та більше змінних. В останній зображеній системі це чітко видно, там маємо три змінні: x, y, z. Рівняння можуть містити по одній змінній, як у прикладі, або кілька. Виходячи з прикладів, нерівність x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 та 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не вважають рівнозначними. Шкільним програмам приділяють увагу рішенню нерівностей з однією змінною.

При записі системи можуть бути задіяні рівняння різних видів та з різною кількістю змінних. Найчастіше зустрічаються цілі нерівності різних ступенів. Під час підготовки до іспитів можуть зустрітися системи з ірраціональними, логарифмічними, показовими рівняннями виду:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Така система включає в себе показове та логарифмічне рівняння.

Вирішення системи нерівностей

Визначення 2

Розглянемо приклад розв'язання систем рівнянь із однією змінною.

x > 7 , 2 - 3 · x ≤ 0

Якщо значення х = 8 , то рішення системи очевидне, оскільки виконується 8 > 7 та 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не вирішиться, тому що перша числова нерівність під час підстановки має 1>7. Так само вирішується система з двома і більше змінними.

Визначення 3

Розв'язання системи нерівностей із двома та більше змінниминазивають значення, які є розв'язанням всіх нерівностей при зверненні кожного у правильну числову нерівність.

Якщо х = 1 та у = 2 буде розв'язанням нерівності x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

При розв'язанні системи нерівностей можуть давати певну кількість відповідей, а можуть і нескінченну. Мається на увазі безліч рішень такої системи. За відсутності рішень говорять про те, що вона має безліч рішень. Якщо рішення має певну кількість, тоді безліч рішень має кінцеве число елементів. Якщо рішень багато, тоді безліч рішень містить безліч чисел.

Деякі підручники дають визначення приватного розв'язання системи нерівностей, що розуміється як окреме рішення. А загальним рішенням системи нерівностей вважають усі його приватні рішення. Таке визначення використовується рідко, тому кажуть «вирішення системи нерівностей».

Дані визначення систем нерівностей і розв'язання розглядаються як перетину множини рішень усіх нерівностей системи. Особливу увагу варто приділити розділу, присвяченому рівносильним нерівностям.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

називається будь-яка сукупність двох або більше лінійних нерівностей, що містять одну і ту ж невідому величину

Ось зразки подібних систем:

Проміжок перетину двох променів і є наше рішення. Отже рішенням цієї нерівності виступають усі хрозташовані між двійкою та вісімкою.

Відповідь: х

Застосування такого типу відображення розв'язання системи нерівностей іноді називають методом дахів.

Визначення:Перетином двох множин Аі Уназивається така третя множина, яка включає всі елементи, що входять і в Аі в У. Це сенс перетину множин довільної природи. Нами зараз детально розглядаються числові множини, тому при знаходженні лінійних нерівностей такими множинами є промені – сонаправлені, протиспрямовані тощо.

З'ясуємо на реальних прикладахзнаходження лінійних систем нерівностей, як визначити перетину множин рішень окремих нерівностей, що входять до системи.

Обчислимо систему нерівностей:

Помістимо одну під іншу дві силові прямі. На верхній нанесемо ті значення х,які виконують першу нерівність x>7 , а на нижній - які виступають рішенням другої нерівності x>10 Співвіднесемо результати числових прямих, з'ясуємо, що обидві нерівності будуть задовольнятися при x>10.

Відповідь: (10; + ∞).

Робимо за аналогією з першим зразком. На заданій числовій осі наносимо всі ті значення хза яких існує перше нерівність системиа на другій числовій осі, розміщеній під першою, - всі ті значення х, у яких виконується друга нерівність системи. Співвіднесемо ці два результати і визначимо, що обидві нерівності одночасно будуть виконуватися при всіх значеннях хрозташованих між 7 та 10 з урахуванням знаків отримуємо 7<х≤10

Відповідь: (7; 10].

Подібним чином вирішуються і наступні системи нерівностей.

Вирішення нерівності з двома змінними, а тим більше системи нерівностей із двома змінними, Видається досить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко і без особливих зусиль вирішувати, на перший погляд, дуже складні завдання такого роду. Спробуємо розібратися в ньому.

Нехай ми маємо нерівність із двома змінними одного з наступних видів:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Для зображення множини рішень такої нерівності на координатній площині надходять таким чином:

1. Будуємо графік функції y = f(x), який розбиває площину дві області.

2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей та розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідної нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильна числова нерівність, то укладаємо, що вихідна нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Отже, безліччю розв'язків нерівності – область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить неправильна числова нерівність, то безліч рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), не включають безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність несувора, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), включають безліч рішень даної нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією.
А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Яка безліч точок задається нерівністю x · y ≤ 4?

Рішення.

1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x у даному випадку не звертається до 0, тому що інакше ми б мали 0 · y = 4, що неправильно. Отже, можемо поділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4/x. Графіком цієї функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи та ту, що зовні їх.

2) Виберемо з першої області довільну точку, хай це буде точка (4; 2).
Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 – неправильно.

Отже, точки даної області не задовольняють вихідну нерівність. Тоді можемо дійти невтішного висновку у тому, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3) Оскільки нерівність несувора, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4/x, малюємо суцільною лінією.

Зафарбуємо безліч точок, що задає вихідну нерівність, жовтим кольором (Рис. 1).

Завдання 2.

Зобразити область, задану на координатній площині системою
(Y> x 2 + 2;
(y + x> 1;
(x 2 + y 2 ≤ 9).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій (Рис. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – пряма

x 2 + y 2 = 9 – коло.

1) y> x 2 + 2.

Беремо точку (0; 5), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 5 > 0 2 + 2 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першу нерівність системи. Зафарбувати їх жовтим кольором.

2) y + x > 1.

Беремо точку (0; 3), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 3 + 0 > 1 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму y + x = 1, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх зеленою штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Беремо точку (0; -4), що лежить поза колом x 2 + y 2 = 9.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 9, не задовольняють третю нерівність системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбуємо їх фіолетовим штрихуванням.

Не забуваємо у тому, що й нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (Рис. 3).

(Рис. 4).

Завдання 3.

Зобразити область, задану на координатній площині системою:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4).

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій:

x 2 + y 2 = 16 – коло,

x = -y - Пряма

x 2 + y 2 = 4 – коло (рис. 5).

Тепер розбираємося з кожною нерівністю окремо.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Беремо точку (0; 0), що лежить усередині кола x 2 + y 2 = 16.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 16, задовольняють першу нерівність системи.
Зафарбуємо їх червоним штрихуванням.

Беремо точку (1; 1), яка лежить вище за графік функції.
Перевіряємо нерівність: 1 ≥ -1 – вірно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму x = -y, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх синім штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Беремо точку (0; 5), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 4.
Перевіряємо нерівність: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 4, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбувати їх блакитним кольором.

У цій задачі всі нерівності несуворі, отже, всі межі малюємо суцільною лінією. Отримуємо наступну картинку (Рис. 6).

Шукана область - це область, де всі три розфарбовані області перетинаються один з одним (рис 7).

Залишились питання? Не знаєте, як вирішити систему нерівностей із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Системі нерівностей.
Приклад 1. Знайти область визначення виразу
Рішення.Під знаком квадратного кореня має бути невід'ємне число, отже, мають одночасно виконуватися дві нерівності: У таких випадках кажуть, що завдання зводиться до розв'язання системи нерівностей

Але з такою математичною моделлю (системою нерівностей) ми ще зустрічалися. Отже, рішення прикладу ми поки що не в змозі довести до кінця.

Нерівності, що утворюють систему, поєднуються фігурною дужкою (так само і в системах рівнянь). Наприклад, запис

означає, що нерівності 2х - 1 > 3 і Зх - 2< 11 образуют систему неравенств.

Іноді використовується запис системи нерівностей як подвійного нерівності. Наприклад, систему нерівностей

можна записати у вигляді подвійної нерівності 3<2х-1<11.

В курсі алгебри 9-го класу ми розглядатимемо лише системи з двох нерівностей.

Розглянемо систему нерівностей

Можна підібрати кілька її окремих рішень, наприклад х = 3, х = 4, х = 3,5. Справді, при х = 3 перша нерівність набуває вигляду 5 > 3, а друга - виду 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

У той самий час значення х = 5 є рішенням системи нерівностей. При х = 5 перша нерівність набуває вигляду 9 > 3 - вірна числова нерівність, а друга - вид 13< 11- неверное числовое неравенство .
Вирішити систему нерівностей - значить знайти всі її особисті рішення. Зрозуміло, що таке вгадування, яке продемонстровано вище, – не метод розв'язання системи нерівностей. У наступному прикладі ми покажемо, як зазвичай міркують під час вирішення системи нерівностей.

приклад 3.Вирішити систему нерівностей:

Рішення.

а)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо 2х > 4, х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо Зх< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
б)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо Зазначимо ці проміжки на одній координатній прямій, використавши для першого проміжку верхнє штрихування, а для другого - нижнє штрихування (рис. 23). Рішенням системи нерівностей буде перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. У прикладі, що розглядається, отримуємо промінь

в)Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Узагальнемо міркування, проведені у розглянутому прикладі. Припустимо, що нам потрібно вирішити систему нерівностей

Нехай, наприклад, інтервал (а, b) є розв'язком нерівності fх 2 > g(х), а інтервал (с, d) - розв'язанням нерівності f 2 (х) > s 2 (х). Зазначимо ці проміжки на одній координатній прямій, використавши для першого проміжку верхнє штрихування, а для другого - нижнє штрихування (рис. 25). Рішенням системи нерівностей є перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. На рис. 25 це інтервал (b).

Тепер ми без особливих зусиль зможемо вирішити систему нерівностей, яку отримали вище, у прикладі 1:

Вирішуючи першу нерівність системи, знаходимо х > 2; вирішуючи другу нерівність системи, знаходимо х< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Зрозуміло, система нерівностей не обов'язково має складатися з лінійних нерівностей, як було досі; можуть зустрітися будь-які раціональні (і не лише раціональні) нерівності. Технічно робота із системою раціональних нелінійних нерівностей, звичайно, складніша, але принципово нового (порівняно з системами лінійних нерівностей) тут нічого немає.

приклад 4.Розв'язати систему нерівностей

Рішення.

1) Вирішимо нерівність Маємо
Зазначимо точки -3 і 3 на числовій прямій (рис. 27). Вони розбивають пряму втричі проміжку, причому кожному проміжку вираз р(х) = (х- 3)(х + 3) зберігає постійний знак - ці знаки вказані на рис. 27. Нас цікавлять проміжки, у яких виконується нерівність р(х) > 0 (вони заштриховані на рис. 27), і точки, у яких виконується рівність р(х) = 0, тобто. точки х = -3, х = 3 (вони позначені на рис. 27 темними кружечками). Отже, на рис. 27 представлена ​​геометрична модель розв'язання першої нерівності.

2) Вирішимо нерівність Маємо
Зазначимо точки 0 і 5 на числовій прямій (рис. 28). Вони розбивають пряму на три проміжки, причому на кожному проміжку вираз<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >(заштриховано на рис. 28), і точки, в яких виконується рівність g (х) - О, тобто. точки х = 0, х = 5 (вони позначені на рис. 28 темними кружальцями). Отже, на рис. 28 представлена ​​геометрична модель розв'язання другої нерівності системи.

3) Зазначимо знайдені розв'язки першої та другої нерівностей системи на одній координатній прямій, використавши для розв'язання першої нерівності верхню штрихування, а для розв'язання другої - нижню штрихування (рис. 29). Рішенням системи нерівностей буде перетин рішень нерівностей системи, тобто. проміжок, на якому обидві штрихування збіглися. Таким проміжком є ​​відрізок.

Приклад 5.Вирішити систему нерівностей:

Рішення:

а)З першої нерівності знаходимо x >2. Розглянемо другу нерівність. Квадратний тричлен х 2 + х + 2 немає дійсних коренів, яке старший коефіцієнт (коефіцієнт при х 2) позитивний. Отже, за всіх х виконується нерівність х 2 + х + 2>0, тому друга нерівність системи немає рішень. Що це означає для системи нерівностей? Це означає, що система немає рішень.

б)З першої нерівності знаходимо x > 2, а друга нерівність виконується за будь-яких значень х. Що це означає для системи нерівностей? Це означає, що його рішення має вигляд х>2, тобто. збігається з розв'язанням першої нерівності.

Відповідь:

а) немає рішень; б) x >2.

Цей приклад є ілюстрацією для таких корисних

1. Якщо в системі з кількох нерівностей з однією змінною одна нерівність не має розв'язків, то й система не має розв'язків.

2. Якщо в системі з двох нерівностей з однією змінною одна нерівність виконується за будь-яких значень змінної , то рішенням системи є рішення другої нерівності системи.

Завершуючи цей параграф, повернемося до наведеної на його початку завдання про задумане число і вирішимо її, як кажуть, за всіма правилами.

Приклад 2(Див. с. 29). Задумано натуральне число. Відомо, що якщо до квадрата задуманого числа додати 13, то сума буде більша за добуток задуманого числа і числа 14. Якщо ж до квадрата задуманого числа додати 45, то сума буде меншою за добуток задуманого числа і числа 18. Яке число задумано?

Рішення.

Перший етап. Складання математичної моделі.
Задумане число х, як ми бачили вище, повинне задовольняти системі нерівностей

Другий етап. Робота зі складеною математичною моделлю. Перетворимо першу нерівність системи до виду
х2-14x+ 13 > 0.

Знайдемо коріння тричлена х 2 - 14x + 13: х 2 = 1, х 2 = 13. За допомогою параболи у = х 2 - 14x + 13 (рис. 30) робимо висновок, що нерівність, що цікавить нас, виконується при x< 1 или x > 13.

Перетворимо другу нерівність системи до виду х2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.