1. Frakcijsko-linearna funkcija i njen graf

Funkcija oblika y = P(x) / Q(x), gdje su P(x) i Q(x) bogati pojmovi, naziva se razlomačno-racionalnom funkcijom.

Sa razumijevanjem racionalnih brojeva, već znate, pjevajući, znate. Slično racionalne funkcije– sve funkcije, ako je moguće imati više od dva polinoma.

Kao frakciono-racionalna funkcija, osim dvije linearne funkcije - polinoma prvog koraka, tj. funkcija uma

y = (ax + b) / (cx + d), tada se íí̈na naziva shot-linearno.

Imajte na umu da je funkcija y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (sada funkcija postaje linearna y = ax/d + b/d) i da je a/c ≠ b/d (sada funkcija je konstantan). Frakcijsko-linearna funkcija je dodijeljena za sve realne brojeve, crim x = -d/c. Grafovi frakciono-linearnih funkcija se ne uklapaju u oblik grafa koji vam je poznat y = 1/x. Poziva se kriva, koja je grafik funkcije y = 1/x hiperbola. Kada se apsolutna vrijednost x ne poveća iznad apsolutne vrijednosti, funkcija y = 1/x se neometano mijenja u apsolutnoj vrijednosti, a rubovi grafa se približavaju osi apscise: desna se približava vrhu, a lijeva je dnu. Direktno, na koje se škrge hiperbole približavaju, zovu se njezina asimptote.

primjer 1.

y = (2x + 1) / (x - 3).

Rješenje.

Možemo vidjeti cijeli dio: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Sada je lako shvatiti da graf funkcije treba izaći iz grafa funkcije y = 1/x napredujućim transformacijama: šav na 3 pojedinačna vjetra udesno, rastezanje zraka ose Oy y 7 puta i suve na 2 pojedinačna vjetra uzbrdo.

Da li se drib y = (ax + b) / (cx + d) može napisati sličnim redoslijedom, gledajući "cijeli dio". Također, grafovi svih frakciono-linearnih funkcija su hiperboli, na drugačiji način zsunuti vzdovzh koordinatnih osa i rastegnuti duž ose Oy.

Da bismo inspirisali grafiku, bilo da se radi o prilično delimično-linearnoj funkciji, nije obov'yazkovo drib, koji postavlja ovu funkciju, za preradu. Poznato je da je graf hiperbola, moguće je direktno saznati, koje se približavaju ji gílki - asimptoti hiperbole x = -d/c i y = a/c.

guza 2.

Naći asimptotiku grafa funkcije y = (3x + 5) / (2x + 2).

Rješenje.

Funkcija nije dodijeljena za x = -1. Dakle, prava linija x = -1 ê vertikalna asimptota. Za vrijednost horizontalne asimptote jasno je da su vrijednosti funkcije y(x) aproksimirane ako argument x raste u apsolutnoj vrijednosti.

Za koga dijelimo broj i zastavu razlomka na x:

y = (3+5/x)/(2+2/x).

Kako je x → ∞, to će biti do 3/2. Dakle, horizontalna asimptota prave je y = 3/2.

Primjer 3.

Inducirajte graf funkcije y = (2x + 1) / (x + 1).

Rješenje.

Vidimo u razlomku "cijeli dio":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 - 1/(x + 1).

Sada je lako shvatiti kako će graf funkcije izaći iz grafa funkcije y = 1/x s transformacijama naprijed: pomicanjem 1 jedinice ulijevo, simetrično rotaciji za Ox i razbijanjem za 2 pojedinačna vjetra uzbrdo duž ose Oy.

Odredišna oblast D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Područje vrijednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Šarena peretina sa sjekirama: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Označena je funkcija rasta kože z promízhkív oblasti.

Prijedlog: Slika 1.

2. Frakcijsko-racionalna funkcija

Pogledajmo shot-racionalnu funkciju oblika y = P (x) / Q (x), de P (x) í Q (x) - bogati pojmovi, korak viši od prvog.

Primijenite takve racionalne funkcije:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ili y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ako je funkcija y = P(x) / Q(x) privatna dva najbogatija člana koraka viša od prvog, tada će raspored biti, po pravilu, sklopiviji, i inducirati ga točno, uz uobičajeno detalji će biti važni. Međutim, često je dovoljno zastosuvat priyomi, analogno onima, sa kojima već znamo više.

Neka dríb - ispravno (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Očigledno, graf frakciono-racionalne funkcije može se uzeti kao zbir grafova elementarnih razlomaka.

Pobudova grafovi shot-racionalnih funkcija

Hajde da pogledamo nekoliko načina da inspirišemo grafikone racionalne funkcije.

Primjer 4.

Inducirajte graf funkcije y = 1/x2.

Rješenje.

Graf funkcije y = x 2 je pobjednički za stimulaciju grafa y = 1 / x 2 i ubrzava se metodom "ispod" grafova.

Odredišno područje D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Opseg E(y) = (0; + ∞).

Nema smisla prelaziti osi. Funkcija pare. Raste u svim intervalima (-∞; 0), mijenja se na x u 0 na +∞.

Prijedlog: Slika 2.

Primjer 5.

Inducirajte graf funkcije y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Rješenje.

Odredišno područje D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3+1/3.

Ovdje smo koristili priyom rozladannya na multiplikatorima, skorochennya koja je svedena na linearnu funkciju.

Prijedlog: Slika 3.

Primjer 6.

Inducirajte graf funkcije y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Rješenje.

Opseg je D(y) = R. Ako je funkcija par, onda je graf simetričan duž y-ose. Prvi put će biti raspored, ponovo ćemo ga preraditi pošto smo vidjeli cijeli dio:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

Važno je da je vizija cijelog dijela formule shot-racionalne funkcije jedna od glavnih u slučaju motivacijskih grafova.

Ako je x → ±∞ onda je y → 1, onda. Prava linija y = 1 je horizontalna asimptota.

Prijedlog: Slika 4.

Primjer 7.

Hajde da pogledamo funkciju y = x/(x 2 + 1) i onda pokušamo da pronađemo tačnu maksimalnu vrednost í̈í̈. Naći ću tačku desne polovine grafa. Da bi se upravo ovaj raspored inspirisao, danas se malo zna. Očigledno je da je krivulju nemoguće „podići“ još više, jer da biste dovršili baner, brzo počnite "zaokružiti" broj. Pitamo se koja je vrijednost funkcije dobra 1. Za koju treba biti jednako x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. Vrijednost nije moguća za realne korijene. Oče, naš prijem nije ê vírnim. Da bismo znali najveću vrijednost funkcije, potrebno je prepoznati, za bilo koju najveću A jednako je A = x / (x 2 + 1) rješenje. Zamijenimo izjednačenje kvadratnim: Ax 2 - x + A = 0. Svrha izjednačenja je moguća, ako je 1 - 4A 2 ≥ 0. Poznato je da je najveća vrijednost A = 1/2.

Prijedlog: Slika 5, max y(x) = ½.

Ostalo vam je bez hrane? Znate li kakvi će biti grafovi funkcija?
Da biste dobili pomoć od tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, s punom ili privatnom kopijom materijala poslanom na originalni obov'yazkove.

Od samog početka, grafička funkcija školaraca drži se do samog početka razvoja algebre i nastavlja da razvija svoje vještine. Počevši od grafa linearne funkcije, za koju trebate znati cijele dvije tačke, do parabole, za koju vam treba već 6 tačaka, hiperbole i sinusoida. Sa sudbinom kože, funkcije se sve preklapaju i podstiču svoju grafiku, već je nemoguće pratiti šablon, potrebno je izvršiti folding follow-up, kora sa sličnim ivicama.

Hajde da shvatimo, kako znati graf funkcije? Za neke od najjednostavnijih funkcija čiji će grafovi biti iza točaka, a zatim ćemo pogledati plan za više funkcija preklapanja.

Pobudov graf linearne funkcije

Da biste inspirirali najjednostavniji grafikon, koristite tablicu vrijednosti funkcije. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Pokušajmo saznati tačke grafa funkcije y=4x+5.

1. Za koje uzimamo dvije dovoljne vrijednosti promjene x, predstavljamo ih pomoću funkcije, znamo vrijednost promjene y i sve stavljamo u tabelu.
2. Uzmimo vrijednost x=0 i stavimo je na funkciju x - 0. Uzmimo je: y=4*0+5, pa ćemo y=5 upisati vrijednost u tabelu n_0. Slično, uzmimo x=0 uzeti y=4*1+5, y=9.
3. Sada, da bi se inducirao graf funkcije, potrebno je staviti q tačaka na koordinatnu ravan. Idemo pravo naprijed.

Pobudov graf kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija je funkcija oblika y \u003d ax 2 + bx + c de x-promjena, a, b, c su brojevi (a nije jednako 0). Na primjer: y=x 2 , y=x 2 +5, y=(x-3) 2 , y=2x 2 +3x+5.

Da biste podstakli najjednostavniju kvadratnu funkciju y=x2, uzmite 5-7 piksela. Uzmimo vrijednost za promjenu x: -2, -1, 0, 1, 2 i znamo vrijednost y kao i kada se pozove prvi graf.

Graf kvadratne funkcije naziva se parabola. Ako probudite grafove funkcije, učenici su krivi za nove zadatke vezane za raspored.

Primjer 1: pronađite apscisu tačke grafa funkcije y = x 2, jer je ordinata skuplja 9. Da biste izvršili zadatak, potrebno je zamijeniti vrijednost y u funkciji í̈í̈í̈ 9. Uzmite 9 \u003d x 2 i dovršite cilj. x=3 i x=-3. Možete provjeriti graf funkcije.

Dodatne funkcije i brza grafika

Da bi se inducirali grafovi savijanja funkcija, potrebno je pohvaliti kílka krokív, doprinos í̈í̈ doslídzhennya. Za koga je potrebno:

1. Znati opseg dodijeljene funkcije. Označeno područje - vrijednost za koju možete promijeniti x. Iz područja imenovanja uključite sljedeće točke, u kojima se standard povećava na 0, ili korijen virusa postaje negativan.
2. Postavite parnost i neparnost funkcije. Pogađajući da je ova funkcija uparena, kao da je razumljiva f(-x)=f(x). Raspored je simetričan shodo Oh. Funkcija će biti neuparena, kao da nije na umu f(-x)=-f(x). Í ovdje je graf simetričan u odnosu na klip koordinata.
3. Poznavati tačke prečke sa osovinama koordinata. Da bi se znala apscisa tačke linije od prave Ox, potrebno je izjednačiti f (x) = 0 (ordinata je jednaka 0). Da bi se znala ordinata tačke prave od prave Oy, potrebno je da funkcija zamijeni promjenu x na 0 (apscisa je suprotna od 0).
4. Poznavati asimptotiku funkcije. Asiptota - ravno, dok se raspored neumoljivo približava, ali ako se ne mijenja. Hajde da shvatimo kako znati asimptote grafa funkcije.
   • Vertikalna asimptota prave x=a
   • Horizontalna asimptota - ravno do točke y \u003d
   • Cijena asimptote je direktna razlika y=kx+b
5. Poznavati tačke ekstrema funkcije, intervale rasta i promjene funkcije. Znamo tačke ekstrema funkcije. Za koga je potrebno znati prvi put i izjednačiti njenu sa 0. U tim tačkama, sama funkcija može da se promeni od rastuće do pada. Značajno znak sličan intervalu kože. Ako je pozitivan, onda graf funkcije raste, ako je negativan - manje.
6. Pronađite tačke krivulje grafa funkcije, praznine bubrenja gore i dolje.

Poznavanje tačaka prekida je sada lakše. Potrebno je da prijatelj zna da li ću izgubiti, onda ćemo to izjednačiti sa nulom. Potrebno je poznavati znak drugog sličnog kožnom intervalu. Ako je pozitivan, onda je graf funkcije natečen, ako je negativan - uzbrdo.

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihove ovlasti i rasporedi ne manje važno, niže poznavanje tablica množenja. Smrdi kao temelj, sve je utemeljeno na njima, sve će se od njih izgraditi i sve će se do njih izgraditi.

U ovim statistikama su sve glavne elementarne funkcije obrnute, nacrtat ćemo njihovu grafiku i dame bez nagovještaja i dokaza snaga glavnih elementarnih funkcija iza dijagrama:

• ponašanje funkcije na granicama ciljnog područja, vertikalne asimptote (za potrebu da se čudimo klasifikaciji tačaka razvoja funkcije);
• uparivanje i neparitet;
• izbočine (izbočine uzbrdo) i izbočine (izbočine prema dolje), tačke preklapanja (ako je potrebno, zadivite se funkciji ispupčenja, ravnim ispupčenjem, tačkama preklapanja, ispupčenjem i savijanjem);
• bolest i horizontalne asimptote;
• posebne tačke funkcija;
• posebno moć postojećih funkcija (na primjer, najmanje pozitivan period trigonometrijskih funkcija).

Ako ćete se zvati abo, onda možete ići na teoriju tsikh razdílív.

Osnovne elementarne funkcijeê: konstantna funkcija (konstanta), korijen n-tog koraka, funkcija stanja, prikaz, logaritamska funkcija, trigonometrijske i reverzne trigonometrijske funkcije.

Navigacija sa strane.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija je data na množiocu svih realnih brojeva formulom , de C - realan broj. Trajna funkcija je da se vrijednost nezavisne promjene x postavi na istu vrijednost zaostale promjene y - vrijednost C. Konstantna funkcija se zove konstanta.

Grafikon konstantne funkcije je ravan, paralelan sa apscisnom osom i prolazi kroz tačku sa koordinatama (0, C). Na primjer, grafovi postfunkcija y=5, y=-2 i slični maloj, zašiljeni niže, prikazuju crne, crvene i plave ravne linije.

Snaga trajne funkcije.

• Označeno područje: svi bezlični realni brojevi.
• Stalna funkcija je parna soba.
• Opseg značenja: bezličan, koji se sastoji od jednog S.
• Stalna funkcija nije rastuća i neuništiva (za osvojene je trajna).
• Razgovor o ispupčenju i ugvígnutíst postíynoy ne maê sensu.
• Ne postoji asimptota.
• Funkcija se unosi kroz tačku (0,C) koordinatne ravni.

Koren n-te faze.

Pogledajmo osnovnu elementarnu funkciju, kako je definirana formulom, gdje je n prirodan broj, veći od jedan.

Koren n-tog stepena, n je broj.

Pogledajmo funkcije korijena n-tog koraka sa vrijednostima blizanaca indikatora korijena n.

Za guzu ćemo mališane voditi sa slika grafova funkcija ja, dajem crne, crvene i plave linije.

Sličan izgled može promijeniti grafove funkcija korijena uparene faze za druge vrijednosti indikatora.

Dominacija funkcije je korijen n-te faze u paru n.

Koren n-tog stepena, n je neparni broj.

Funkcija korijena n-tog koraka sa nesparenim eksponentom korijena n dodjeljuje se cijelom mnoštvu realnih brojeva. Za zadnjicu ćemo nacrtati grafove funkcija i, í̈m vídpovidat crne, crvene i plave krive.

Za ostale nesparene vrijednosti indikatora korijena grafa funkcije očekuje se sličan izgled.

Dominacija funkcije je korijen n-te faze sa nesparenim n.

Step funkcija.

Funkcija koraka je data formulom forme.

Pogledajmo tip grafa statičke funkcije i snagu statičke funkcije odvojeno od vrijednosti indikatora koraka.

Pa, imamo statičku funkciju sa cijelim indikatorom a. Na taj način, tip grafova statičkih funkcija i snaga funkcija leže u uparivanju i rasparivanju indikatora koraka, kao i prvog znaka. U tu svrhu možemo pogledati statičke funkcije sa neuparenim pozitivnim vrijednostima indikatora a, date sa uparenim pozitivnim, date sa neuparenim negativnim indikatorima koraka, i, nareshti, sa uparenim negativnim a.

Snaga funkcija stanja sa udarnim i iracionalnim indikatorima (poput vrste grafova takvih funkcija stanja) leže u vrijednosti indikatora a. Njih se smatra, prvo, sa a od nula do jedan, na drugačiji način, sa velikim jedinicama, na treći način, sa sličnim minus jedan do nula, na četvrti način, sa manjim minus jedan.

Na primjer, da bismo upotpunili sliku, opisujemo funkciju stanja sa nultim eksponentom.

Koračna funkcija s neuparenim pozitivnim indikatorom.

Funkciju stanja možemo posmatrati sa nesparenim pozitivnim indikatorom koraka, odnosno sa a = 1,3,5,….

Na malom ispod nacrtani su grafovi statičkih funkcija - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Kada je a = 1, možda linearna funkcija y=x.

Snaga funkcije stanja s neuparenim pozitivnim indikatorom.

Step funkcija s pozitivnim indikatorom za muškarce.

Pogledajmo funkciju stanja sa uparenim pozitivnim indikatorom koraka, dakle za a = 2,4,6, ....

Kao primjer, crtamo grafove funkcija stanja - crna linija, - plava linija, - crvena linija. Kada je \u003d 2, možda kvadratna funkcija, graf koji je kvadratna parabola.

Dominacija državne funkcije sa muškim pozitivnim pokazateljem.

Koračna funkcija s neuparenim negativnim indikatorom.

Pogledajte grafikone statičke funkcije s neuparenim negativnim vrijednostima indikatora koraka, odnosno sa a = -1, -3, -5, ....

Na malog nanesite grafikone statičkih funkcija - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Kada je \u003d -1, možda zvorotnu proporcionalnost, raspored je hiperbola.

Dominacija funkcije stanja sa nesparenim negativnim indikatorom.

Koračna funkcija s muškim negativnim indikatorom.

Pređimo na funkciju stanja na a=-2,-4,-6,….

Grafovi statičkih funkcija prikazani su u maloj skali - crna linija, - plava linija, - crvena linija.

Dominacija državne funkcije sa muškim negativnim pokazateljem.

Koračna funkcija s racionalnim ili iracionalnim indikatorom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Dobijte poštovanje! Iako je a pozitivan pad sa neuparenim standardnim predznakom, autori razmatraju područje dodijeljeno intervalu funkcije stanja . S kim se varaju da indikator koraka a nije kratak dríb. Istovremeno, autori bogatih asistenata u algebri i analizi NE PROJEKTUJU statičke funkcije s eksponentom u razlomku s nesparenim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pokušaćemo i sami da zauzmemo takvo gledište, tako da su bitne oblasti dodjele državnih funkcija sa isprekidanim pozitivnim indikacijama stepena bezličnosti. Preporučuje se da naučite prepoznati svoj vikladačev pogled u ovom delikatnom trenutku, kako biste prevazišli razlike.

Hajde da pogledamo funkciju stanja sa racionalnim hi iracionalnim eksponentom a, štaviše.

Crtamo grafove funkcija stanja na a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Koračna funkcija sa beznačajnim racionalnim brojem iracionalnog indikatora, većim od jedan.

Pogledajmo funkciju stanja sa neracionalnim ili iracionalnim indikatorom a.

Nacrtajmo grafove funkcija stanja datih formulama (crne, crvene, plave i zelene linije su jasne).

>

S drugim vrijednostima indikatora, korak a, grafovi funkcije bi trebali izgledati slično.

Dominacija državne funkcije na .

Koračna funkcija sa realnim indikatorom, koji je veći za minus jedan i manji za nulu.

Dobijte poštovanje! Iako je a negativan pad s neuparenim standardnim predznakom, autori razmatraju područje dodijeljeno intervalu statičke funkcije . S kim se varaju da indikator koraka a nije kratak dríb. U isto vrijeme, autori bogatih asistenata u algebri i analizi NE PROJEKTUJU statičke funkcije s eksponentom u razlomku s nesparenim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Pokušaćemo sami da sagledamo takav pogled, tako da je važno da oblasti dodeljivanja državnih funkcija sa shot-shot negativnim pokazateljima koraka budu bezlične. Preporučuje se da naučite prepoznati svoj vikladačev pogled u ovom delikatnom trenutku, kako biste prevazišli razlike.

Pređimo na državnu funkciju, na sudbinu.

Kako bismo što bolje predstavili vrstu grafova statičkih funkcija, možemo primijeniti grafove funkcija (crne, crvene, plave i zelene krive na jasan način).

Dominacija funkcije stanja sa indikatorom a, .

Step funkcija sa malim praktičnim indikatorom, koji je manji za minus jedan.

Stavimo grafove statičkih funkcija na , smrad je jasno prikazan crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Moć funkcije stanja sa nenegativnim indikatorom, manjim od minus jedan.

Kada je a=0 i funkcija je moguća, tačka (0; 1) se direktno isključuje (na primjer, 0 0 nije prisiljeno dati željenu vrijednost).

Funkcija prikaza.

Jedna od glavnih osnovnih funkcija je funkcija prikaza.

Grafikon funkcije prikaza, koji uzima drugačiji pogled na ugar od vrijednosti supstituenta. Hajde da to shvatimo u tsomi.

Na potiljku je lako pogledati, ako osnova funkcije prikaza poprimi vrijednost od nule do jedan, onda .

Na primjer, crtamo grafike funkcije prikaza sa a = 1/2 - plavom linijom, a = 5/6 - crvenom linijom. Sličan izgled može napraviti grafove funkcije prikaza za druge vrijednosti baze iz intervala.

Dominacija funkcije prikaza iz potvrđene manje jedinice.

Pređimo na vipadok, ako je osnova funkcije prikaza veća od jedan, onda .

Kao ilustraciju, nacrtajmo grafikone funkcija prikaza - plava linija i crvena linija. Za druge vrijednosti, visoke, grafikoni funkcije prikaza trebali bi izgledati slično.

Dominacija emisije funkcioniše sa osnovom velikog jedinstva.

Logaritamska funkcija.

Osnovna elementarna funkcija naprijed je logaritamska funkcija de , . Logaritamskoj funkciji se dodeljuju samo pozitivne vrednosti argumentu, odnosno kada .

Grafikon logaritamske funkcije izgleda drugačije u ugaru po vrijednosti supstituenta.

Uradimo to za sreću, ako.

Na primjer, crtamo grafove logaritamske funkcije sa a = 1/2 - plavom linijom, a = 5/6 - crvenom linijom. Za ostale vrijednosti zamislite da bi grafovi logaritamske funkcije trebali izgledati slično, tako da ne prelaze 1s.

Moć logaritamske funkcije iz osnove najmanje jedinice.

Prijeđimo na vipadok, ako je osnova logaritamske funkcije veća od jedan ().

Prikazujemo grafikone logaritamskih funkcija - plava linija - crvena linija. S drugim vrijednostima supstituenta, visokim jedinicama, grafovi logaritamske funkcije trebali bi izgledati slično.

Moć logaritamske funkcije sa osnovom velike jedinice.

Trigonometrijske funkcije, njihova snaga i grafika.

Sve trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangenta i kotangens) smatraju se osnovnim elementarnim funkcijama. Pogledajmo sada njihovu grafiku i preispitamo njihove karakteristike.

Trigonometrijske funkcije razumijevanja moći periodičnost(ponavljanje vrijednosti funkcije s različitim vrijednostima argumenta, jedan tip po vrijednosti perioda , de T - period), na to, ispred liste potencija trigonometrijskih funkcija sabiraka "najmanje pozitivnog perioda". Također za trigonometrijsku funkciju kože, vrijednost argumenta za neke druge funkcije se pretvara u nulu.

Pogledajmo sada redom trigonometrijske funkcije.

Funkcija sinus y = sin (x).

Zamislite graf sinusne funkcije, koji se naziva "sinusoida".

Dominacija funkcije sinus y = sinx.

Kosinusna funkcija y = cos(x).

Grafikon funkcije kosinus (koji se naziva "kosinus") može izgledati ovako:

Snaga kosinusa funkcije y = cosx.

Tangenta funkcije y = tg (x).

Graf tangentne funkcije (koja se zove "tangentoid") može izgledati ovako:

Tangenta snažne funkcije y = tgx.

Kotangens funkcija y = ctg (x).

Hajde da vizualizujemo graf kotangens funkcije (naziva se "kotangenta"):

Snaga funkcije je kotangens y = ctgx.

Vraćanje trigonometrijskih funkcija, njihova snaga i grafika.

Reverzne trigonometrijske funkcije (arksina, arkosinus, arktangens i arkotangens) su glavne elementarne funkcije. Često se preko prefiksa "luk" okretne trigonometrijske funkcije nazivaju lučne funkcije. Pogledajmo sada njihovu grafiku i preispitamo njihove karakteristike.

Arksinus funkcija y = arcsin (x).

Hajde da vizualizujemo graf funkcije arcsinusa:

Snaga funkcije je kotangens luka y = arcctg(x).

Spisak literature.

• Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnicin Yu.P. ta ín algebra i cob analiza: Navch. za 10-11 ćelija. zahalnosvit install.
• Vigodsky M.Ya. Dovídnik z elementarne matematike.
• Novosyolov S.I. Algebra i elementarne funkcije.
• Tumanov S.I. Elementarna algebra. Pomagač za samoosvjetljenje.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisno od promjene, k i b su brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Za induciranje rasporeda funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje se nalaze ispred grafa funkcije. Da biste ih saznali, trebate uzeti dvije vrijednosti h, zamijeniti ih jednakim funkcijama i nakon njih izračunati moguće vrijednosti y.

Na primjer, da biste inducirali graf funkcije y=x+2, ručno uzmite x=0 i x=3, tada su ordinatne točke y=2 i y=3. Tačke A(0; 2) i B (3; 3) se oduzimaju. Stoga moramo uzeti graf funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
yakscho k
Koeficijent b prikazuje korišteni grafikon funkcije zraka ose OY:
Ako je b>0, tada će graf funkcije y=kx+b izaći iz grafa funkcije y=kx da se lomi na b jedan gore na vrhu ose OY
yakscho b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Važno je da sve ove funkcije imaju koeficijent k veće od nule ta funkcija je raste.Štaviše, što je veća vrijednost k, to više odgovara rezu ravno naprijed na pozitivnu pravu liniju na osi OX.

Za sve funkcije b=3 - i moguće je da se grafovi preklapaju sa svim OY u tačkama (0;3)

Pogledajmo sada grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovog puta sve funkcije imaju koeficijent k manje od nule tu funkciju smiriti se. Koeficijent b = 3, a grafikoni, kao na prednjem nagibu, mijenjaju sve OY u tačkama (0; 3)

Pogledajmo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, sve jednake funkcije imaju koeficijent k jednak 2. Uzeli smo tri paralelne prave.

Ale koeficijenti b razní, í í í grafovi preklapaju sve OY u različitim točkama:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) pomiče sve OY u tačkama (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) mijenja cijeli OY u tački (0;0) – klipu koordinata.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) pomiče sve OY u tačkama (0;-3)

Takođe, pošto znamo predznake koeficijenata k i b, možemo odmah otkriti, kao da gledamo grafik funkcije y=kx+b.
Yakscho k 0

Yakscho k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b može izgledati ovako:

Yakscho k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b može izgledati ovako:

Yakscho k, tada grafik funkcije y=kx+b može izgledati ovako:

Yakscho k=0, tada se funkcija y=kx+b transformira u funkciju y=b i graf može izgledati ovako:

Ordinate svih tačaka grafa funkcije y=b b=0, Tada graf funkcije y = kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz klip koordinata:

3. Okremo je značajan raspored izjednačenja x = a. Grafikon ovog poravnanja je prava linija, paralelna sa osom OY, sve tačke koje mogu biti apscisa x=a.

Na primjer, raspored izjednačavanja x=3 izgleda ovako:
Respect! Jednako x=a prestaje biti funkcija, da se jednoj vrijednosti argumenta daju različite vrijednosti funkcije, što je isto kao i dodijeljena funkcija.

4. Umov paralelizam dvije prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 paralelan sa grafom funkcija y=k 2 x+b 2 ali k 1 =k 2

5. Umov okomitost dvije prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ili k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Krapki peretina grafička funkcija y=kx+b s koordinatnim osama.

Želim vam OY. Apscisa bilo koje tačke koja leži na osi OY jednaka je nuli. Za to, da bi se saznala tačka ukrštanja od prave OY, potrebno je u jednakoj funkciji zamjene x postaviti nulu. Oduzmi y=b. Odnosno, tačka prave od prave OY ima koordinate (0; b).

Z víssyu OH: Ordinata bilo koje točke koja leži na osi OX, do nule. Za to, da bi se znala tačka ukrštanja od linije OX, potrebno je zamijeniti nulu u jednakoj funkciji zamjene y. Oduzeti 0=kx+b. Zvídsi x=-b/k. Do tačke linije od linije OX može koordinirati (-b / k; 0):

Danski metodički materijal može imati unaprijed određen karakter i biti uveden u širok spektar tema. U statistici se pogledaju grafikoni glavnih elementarnih funkcija i najvažnije ishrane - jak je u pravu i ShVIDKO indukuje raspored. Važno je za rezultat proučavanja više matematike bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija, još je važnije pogoditi kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa, zapamtiti vrijednosti funkcije. Dakle mova pide o đakonima moći glavnih funkcija.

Ne pretendujem da zaokružujem tu naučnu strogost materijala, glas će mi biti slomljen, prvo za sve, u praksi - tihi govori, uz biti doveden da se zalijepi bukvalno na kožu krokodila, bilo da se radi o temama više matematike. Tabele za lutke? Može se reći.

O broju čitalaca kabl na koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji super-kratak sažetak na temu
– savladajte 16 vrsta grafikona, okrećući šest strana!

Ozbiljno, shíst, zdivuvavsya navit sebe. Ovaj sažetak ima malo uvećanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, možete pogledati demo verziju. Fajl je ručno sređen, tako da je grafika uvijek bila pod rukom. Hvala vam što podržavate projekat!

odmah popravljam:

Kako ispravno nazvati koordinatne ose?

U stvari, kontrolni rad studenti mogu obavljati u okovima, poredanim sa studentom. Da li vam je i dalje potrebna rozeta kartica? U principu, robot se može napisati na A4 listovima. A kavez je neophodan za elegantan i precizan dizajn fotelje.

Bilo da se radi o stolici, graf funkcije počinje od koordinatnih osa.

Fotelje su dvosvjetske i trosvjetske.

Na potiljku se vidi dvosvjetski vipadok Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem:

1) Crtamo koordinatne ose. Sve se zove puna apscisa , i sve - sve ordinate . Nacrtajte ih sigurno uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe nisu krive za pravljenje brade Papi Carla.

2) Potpisan osom velikim slovima "iks" i "igrok". Ne zaboravite da se pretplatite na os.

3) Postavite skalu duž osi: mala nula i dva jedinica. Kada je stolica najzgodnija i najšira skala: 1 jedinica = 2 ćelije (stolica je ljuta) - ako možete, isprobajte jogu i sami. Međutim, ponekad se nosi tako da stolica ne stane na sjedište - tada se mijenja skala: 1 jedinica = 1 sjedište (desnoruka stolica). Rijetko, pa dobro, da bi skalu fotelje trebalo promijeniti (ili zbíshuvati) još više

NE "žvrljajte mitraljezom" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Bo koordinatna ravan nije Descartesov spomenik, a student nije plav. Mi smo stavili nulaі dva singla duž osi. Inodi zamjenik sami ručno "zasíkty" i druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i sistem (0, 2 i 3) može jedinstveno postaviti koordinatni mrežu.

Prijenos žičare je bolje procijeniti prije žičare. Tako, na primjer, kako je potrebno postaviti triko sa vrhovima , , , u tvornici, onda se potpuno shvatilo da popularna skala od 1 jedinica = 2 ćelije nije tačna. Zašto? Pogledajmo tačku - ovdje slučajno vidimo petnaest centimetara dolje, i, očigledno, fotelja ne može stati (ili bi led trebao stati) na zašite plahtu. Za to, jedan sat, biramo manju skalu 1 jedinica = 1 ćelija.

Prije govora, o centimetrima i zoshiti. Da li je tačno da 30 zavesa ima 15 centimetara? Pogledajte zaštitu za kamatu od 15 centimetara sa crtom. U Sovjetskoj Socijalističkoj Republici je, možda, bila istina ... Jasno je da ako izmjerite 2 centimetra vodoravno i okomito, onda će rezultati (za klijente) biti drugačiji! Strogo izgleda, moderni zošiti nisu kartati, već pravolinijski. Moguće je, ako ćete biti dječja soba, piva, fotelja, na primjer, sa šestarom, sa takvim rasporedom, to je već nezgrapno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počnete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je u logoru vladao zbog hakerskog rada na virobnitstv-u, ne čini se da se već radi o proizvodnji automobila, svjetlima koja padaju ili elektranama koje vibriraju.

Na govor o kvaliteti, ali kratka preporuka o izboru dopisnice. Na ovaj dan, više zoshitív na prodaju, prljave riječi, bučno je. Onom koji smrad pokvasi, i to ne samo u obliku gela, već i u obliku kesica olovaka! Na papirima će navijati. Za dizajn kontrolnih radova, preporučujem da koristite zoshiti Arkhangelsk TsPK (18 lukova, ćelija) ili "P'yatirka", zaista, neće biti skupo. Odaberite gel-ručicu, nađenu kinesku frizuru sa gelom okrenite bogatije, donju ručku vrećice, nekad razmazanu, nekad papirnatu. Jedina "konkurentska" ručka torbe u mom sećanju je "Erich Krause". Pišeš jasno, lepo i stabilno - sa novom frizurom, sa praznom.

Dodatkovo: pogled na pravougaoni koordinatni sistem ohima analitičke geometrije visi sa statistike Linearni (ne)upad vektora. Osnova vektora, detaljne informacije o koordinatama možete pronaći u drugom paragrafu lekcije Linearne nepravilnosti.

Trivial vipadok

Mayzhe je isto ovdje.

1) Crtamo koordinatne ose. standardno: cijelu aplikaciju - ravno uzbrdo, sve - ispravljeno udesno, sve - lijevom rukom dolje suvoro ispod reza 45 stepeni.

2) Označena osa.

3) Postavite skalu duž osi. Skala duž ose - manja, niža skala duž ostalih osa. U znak poštovanja je i to što sam na desnoj fotelji osvojio nestandardni "zarez" duž ose (o takvoj mogućnosti se već nagađalo više). Po mom mišljenju, preciznije je, pametnije i estetski ugodnije – nije potrebno vidjeti sredinu ćelije i "zalijepiti" jednu uz klip koordinata pod mikroskopom.

Pobjedom trivimirove stolice, počet ću ponovo - dati prednost skali
1 pojedinačna = 2 bitve

Trebaju vam sva ova pravila? Pravila uspostavlja onaj ko ih uništava. Šta ću sad. Na desnoj strani, tako da ću korake fotelje članka ja označiti u Excelu, a koordinatne ose će izgledati pogrešno sa stanovišta ispravnog dizajna. Odmah bih krstio sve grafikone u ruci, ali ih krstio u istini, kao da ih je unbazhannaya Excel í̈x tačnije krstio.

Grafovi i osnovne potencije elementarnih funkcija

Linearna funkcija je dodijeljena jednakima. Grafikon linearnih funkcija ravno. Da bi se indukovala prava linija, dovoljno je poznavati dvije tačke.

guza 1

Inducirajte raspored funkcije. Znamo dve tačke. Kao jednu od tačaka, jasno je izabrati nulu.

Yakscho nešto

Uzmimo poentu, na primjer, 1.

Yakscho nešto

Kada završite zadatak, koordinate tačke će se prikazati u tabeli:

I same vrijednosti se raščlanjuju usmeno, ili na crno, kalkulatorima.

Poznate su dvije tačke, možemo vidjeti fotelje:

Prilikom izdavanja stolice morate potpisati grafiku.

Nemojmo pokušavati nagađati kako će se linearna funkcija promijeniti:

Otkrijte postovanje, dok sam roztashuvav potpise, potpisi nisu krivi. U ovoj situaciji nije bilo moguće staviti potpis napisan isprekidanom linijom ravnih linija ili desnorukim na dnu između grafikona.

1) Linearna funkcija uma () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Grafikon direktne proporcije uvijek mora proći kroz klip koordinata. U ovom rangu, pobudova se otvoreno pita - dovoljno je znati samo jednu tačku.

2) Jednako umu je dato pravo, paralelno sa osom, zokrema, samoj celini je dato jednako. Grafikon funkcije će biti odmah, bez ikakvih tačaka. Tob da zapišem sljedeću frazu ovako: "grobovi uvijek postaju bolji -4, ako je x značajno."

3) Jednako umu je dato pravo, paralelno sa osom, zokrema, samoj celini je dato jednako. Raspored funkcije će također biti ažuriran odjednom. Zapis treba shvatiti ovako: “ix zavzhd, za bilo koje značenje igor, dovnyu 1”.

Dehto pitati, dobro, navíscho zagaduvati 6 razred?! Tako je, možda je tako, samo za sudbinu prakse, imam dobrih desetak studenata, koji su ih stavili u gluvi kut zadatka zakazivanja rasporeda za kshtalt ili.

Pobudova direktna - najširi dan u satu je stolica.

Prava linija se detaljno ispituje u toku analitičke geometrije i može se vratiti na stat. Poravnanje ravne linije na stanu.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf bogatog člana

Parabola. Grafikon kvadratne funkcije () je parabola. Pogledajmo poznati vipadok:

Zaboravite djela moći funkcije.

Otzhe, rozv'yazannya naše rivnyannya: - vrh parabole nalazi se u ovoj tački. Zašto je to tako, možete saznati iz teorijske statistike o sličnoj lekciji o ekstremnim funkcijama. U međuvremenu, važno je razumjeti značenje "graveta":

U ovom rangu, vrh je u bod

Sada znamo i druge tačke u kojima je simetrija parabole drsko proklinjala. Zatim navedite koja je funkcija – nije parna soba Prote, simetrija parabole nije nikome pokleknula.

Kojim redosledom znate ostale tačke, pretpostavljam da ćete razumeti iz tabele pod-vrećica:

Danski algoritam se može figurativno nazvati "čovnik" ili princip "ovde i tamo" Anfise Čehove.

Vikonaemo fotelje:

Iz pregledanih grafikona pojavljuje se još jedan znak znaka:

Za kvadratnu funkciju () s pravom nagazio:

Yakshcho, tada su igle parabole ravno uz brdo.

Yakshcho, tada su igle parabole ispravljene prema dolje.

Znanje o krivulji može se izgubiti na lekciji o hiperboli i paraboli.

Kubna parabola je data funkcijom. Osovina poznavanja zí škola obrazovanja:

Preokretanje glavnih funkcija moći

Raspored funkcija

Vín ê odníêyu z hílok parabola. Vikonaemo fotelje:

Glavne funkcije napajanja:

U ovoj situaciji, sve vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Biće GROBKO pardon, kao da dizajn fotelje zbog neuravnoteženosti dozvoljava promenu rasporeda sa asimptotom.

Takođe je jednostrano između pričanja o onima koji su hiperboli nije okružen zveriі nije postavljen na dnu.

Nastavimo funkciju na nedosljednosti: ako trebamo ići duž osi lijevo (ili desno) do nedosljednosti, onda će "Grci" biti niz veoma blizu približava se nuli, i, očigledno, hiperbolično veoma blizu približiti osi.

Ovim redom, sve horizontalna asimptota za graf funkcije, kao "iks" pragne plus ili minus nedosljednost.

Funkcija unpaired, opet, hiperbola je simetrična prema klipu koordinata. Ova činjenica je očigledna iz fotelje, štaviše, lako je protumačiti analitički: .

Grafikon funkcije uma () su dvije linije hiperbole.

Yakscho , tada je hiperbola presavijena u prvoj i trećoj koordinatnoj četvrtini(Div. mališani više).

Yakshcho, tada je hiperbola proširena u drugoj i četvrtoj koordinatnoj četvrti.

Određeno pravilnošću mesta stanovanja hiperbole, nije bitno analizirati na prvi pogled geometrijske transformacije grafova.

guza 3

Da izazove pravo na gílku hiperbole

Trik je u tome da koristite metodu streaminga kako biste ohrabrili, s kojom vrijednošću je moguće odabrati tako da ide namjerno:

Vikonaemo fotelje:

Nije važno izazivati ​​čak i malo hiperbole, ovdje će nesparena funkcija pomoći. Grubo se čini da se u tabeli strimovanja prompta misli dodaju na skin minus, stavljamo definitivne tačke i proglašavamo glavu prijatelja.

Detaljne geometrijske informacije o ispitivanoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Prikaži graf funkcije

U ovom paragrafu ću se još jednom osvrnuti na eksponencijalnu funkciju, krhotine više matematike u 95% slučajeva su sam eksponent.

Pogodit ću šta je iracionalan broj: biće potrebno kada bude na rasporedu, kao, pa, ostat ću bez ceremonije. Tri tačke, mabut, bod:

Raspored funkcije je i dalje miran, otprilike sutradan.

Glavne funkcije napajanja:

U principu, grafovi funkcija izgledaju ovako, i tako dalje.

Kriv sam da kažem da se drugi način više koristi u praksi, ali se koristi vin, tako da poštujem potrebu da ga uključim na status quo.

Grafikon logaritamske funkcije

Pogledajmo funkciju s prirodnim logaritmom.
Znamo stream fotelju:

Kao da su zaboravili, koji je logaritam, budite ljubazni, obratite se školskim mentorima.

Glavne funkcije napajanja:

Područje za sastanke:

Područje vrijednosti: .

Funkcija nije okružena zvijeri: , Neka ide i ispravno, ali neka logaritam ide u nedosljednost.
Pratite ponašanje funkcije blizu nule desno: . Ovim redom, sve vertikalna asimptota za graf funkcije sa "iks", koja je desna na nulu.

Potrebno je znati i zapamtiti tipičnu vrijednost logaritma: .

U osnovi, sam graf izgleda kao logaritam na bazi: , , (decimalni logaritam na bazi 10) i tako dalje. Ako je tako, što je veća podrška, raspored će biti manji.

Nećemo moći da gledamo u vipadok, neću da pogađam, ako ustanem, imajući raspored iz takve pozadine. Taj se logaritam u zadacima više matematike koristi kao rijedak gost.

Na kraju pasusa reći ću o jednoj činjenici: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcija– sve dvije uzajamno korisne funkcije. Ako pogledate logaritam na grafikonu, onda možete reći da je to sama izlagačica, samo je troh prokockala na drugačiji način.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Zašto trigonometrijske muke počinju u školi? U redu. 3 sinusa

Hajde da zakažemo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Pretpostavljam da je "pi" iracionalan broj: u trigonometriji, to je kao mreškanje u očima.

Glavne funkcije napajanja:

Koja je funkcija periodično sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo vetar. Ljut i dešnjak, takva se grafika neprestano ponavlja.

Područje za sastanke: , tada je za bilo koju vrijednost x vrijednost sinusa.

Područje vrijednosti: . Funkcija obmezhenoyu: tako da svi "igrci" sjede suvoro na vídrízku.
Ne postoji takva stvar: chi, tačnije kazhuchi, buvaê, ali nema rješenja.