Напевно, кожен з нас навчав у школі таку важливу складову геометрії, як периметр. Знаходження периметра просто необхідне вирішення безлічі завдань. Про те, як знайти периметр розповість наша стаття.
Варто пам'ятати, що периметр будь-якої фігури – це майже завжди сума її сторін. Давайте розглянемо кілька різних геометричних фігур.
- Прямокутник - це чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні попарно між собою. Якщо одна сторона X, а інша Y, то ми отримаємо таку формулу для знаходження периметра цієї фігури:
P = 2 (X + Y) = X + Y + X + Y = 2X + 2Y.
Приклад розв'язання задачі:
Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см. Значить, підставивши ці значення нашої формули, ми отримаємо - P = 2*5 см + 2* 10см = 30 см.
- Трапеція – це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, але не рівні між собою. Периметр трапеції – це сума всіх чотирьох її сторін:
P = X+Y+Z+W де X, Y, Z, W - сторони фігури.
Приклад розв'язання задачі:
Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см, сторона Z = 8 см, сторона W = 20 см. Отже, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P = 5 см + 10 см + 8 см + 20 см = 43 см.
- Периметр кола (довжину кола) можна обчислити за такою формулою:
P = 2rπ = dπ, де r – це радіус кола, d – діаметр кола.
Приклад розв'язання задачі:
Припустимо, що радіус r нашого кола дорівнює 5 см, тоді діаметр d дорівнюватиме 2*5 см = 10 см. Відомо, що π = 3,14. Отже, підставивши ці значення нашу формулу, ми отримаємо - P = 2*5 див*3,14 = 31,4 див.
- Якщо Вам необхідно знайти периметр трикутника, Ви можете зіткнутися з рядом проблем при цьому, оскільки трикутники можуть мати дуже різні форми. Наприклад, є гострий, тупий, рівнобедрений, прямокутний чи рівносторонній трикутники. Хоча формула для всіх видів трикутників така:
P = X+Y+Z, де X, Y, Z – сторони фігури.
Проблема в тому, що при вирішенні багатьох завдань на знаходження периметра цієї фігури Вам не завжди будуть відомі довжини всіх сторін. Наприклад, замість інформації про довжину однієї зі сторін можна мати градус кута або довжину висоти конкретного трикутника. Це суттєво ускладнить завдання, але зробить її рішення нереальним. Про те, як знайти периметр трикутника, якої форми він не міг би прочитати " ".
- Периметр такої фігури, як ромб знаходять так само, як і периметр квадрата, адже ромб - це паралелограм, який має рівні сторони. Дізнатися, як знайти периметр квадрата можна прочитавши статтю на нашому сайті.
Тепер Ви знаєте, як знайти бік периметра тієї геометричної фігури, яка Вам потрібна!
У наступних тестових завданнях потрібно знайти периметр фігури, зображеної малюнку.
Знайти периметр фігури можна у різний спосіб. Можна перетворити вихідну фігуру таким чином, щоб периметр нової фігури можна було легко обчислити (наприклад, перейти до прямокутника).
Інший варіант рішення - шукати периметр фігури безпосередньо (як суму довжин усіх її сторін). Але в цьому випадку не можна покладатися тільки на малюнок, а знаходити довжини відрізків, виходячи з даних завдання.
Хочу попередити: в одному із завдань серед запропонованих варіантів відповідей я не знайшла того, що вийшов у мене.
C) .
Перенесемо сторони маленьких прямокутників із внутрішньої області у зовнішню. Внаслідок цього великий прямокутник замкнувся. Формула для знаходження периметра прямокутника
У разі, a=9a, b=3a+a=4a. Таким чином, P=2(9a+4a)=26a. До периметра великого прямокутника додаємо суму довжин чотирьох відрізків, кожен із яких дорівнює 3a. У результаті P=26a+4∙3a= 38a .
C) .
Після перенесення внутрішніх сторін маленьких прямокутників у зовнішню область отримуємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(10x+6x)=32x, і чотири відрізки, два — діною по x, два — по 2x.
Разом, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Перенесемо 6 горизонтальних «сходинок» із внутрішньої частини у зовнішню. Периметр отриманого великого прямокутника дорівнює P=2(6y+8y)=28y. Залишилося знайти суму довжин відрізків усередині прямокутника 4y+6∙y=10y. Таким чином, периметр фігури дорівнює P=28y+10y= 38y .
D) .
Перенесемо вертикальні відрізки із внутрішньої області фігури вліво, у зовнішню область. Щоб отримати великий прямокутник, перенесемо одні з відрізків довжиною 4x у лівий нижній кут.
Периметр вихідної фігури знайдемо як суму периметра цього великого прямокутника і довжин три відрізки, що залишилися всередині, P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
E) .
Перенісши внутрішні сторони дрібних прямокутників у зовнішню область, отримаємо великий квадрат. Його периметр дорівнює P=4∙10x=40x. Щоб отримати периметр вихідної фігури, потрібно до периметра квадрата додати суму довжин восьми відрізків, кожен довжиною 3x. Разом, P=40x+8∙3x= 64x .
B) .
Перенесемо всі горизонтальні сходинки і вертикальні верхні відрізки у зовнішню область. Периметр одержаного прямокутника дорівнює P=2(7y+4y)=22y. Щоб знайти периметр вихідної фігури, потрібно до периметра прямокутника додати суму довжин чотирьох відрізків, кожен довжиною y: P=22y+4∙y= 26y .
D) .
Перенесемо з внутрішньої області у зовнішню всі горизонтальні лінії і пересунемо дві вертикальні зовнішні лінії у лівому та правому кутах, відповідно, на z лівіше та правіше. В результаті отримаємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(11z+3z)=28z.
Периметр вихідної фігури дорівнює сумі периметра великого прямокутника та довжин шести відрізків по z: P=28z+6∙z= 34z .
B) .
Рішення повністю аналогічне рішенню попереднього прикладу. Після перетворення фігури знаходимо периметр великого прямокутника:
P = 2 (5z + 3z) = 16z. До периметра прямокутника додаємо суму довжин решти шести відрізків, кожен з яких дорівнює z: P=16z+6∙z= 22z .
Знання у тому, як знайти периметр, учні отримують ще початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується протягом усього курсу математики та геометрії.
Загальна для всіх постатей теорія
Сторони прийнято позначати латинськими літерами. Причому можна позначати як відрізки. Тоді літер знадобиться по дві для кожної сторони та записані більшими. Або ввести позначку однією літерою, яка обов'язково буде маленькою.
Літери завжди вибирають за абеткою. Для трикутника вони будуть першими трьома. У шестикутника їх буде 6 – від а до f. Це зручно запровадження формул.
Тепер про те, як знайти периметр. Він є сумою довжин всіх сторін фігури. Кількість доданків залежить від її виду. Позначається периметр латинської літерою Р. Одиниці виміру збігаються з тими, що дано сторонам.
Формули периметрів різних фігур
Для трикутника: Р = а + в + с. Якщо він рівнобедрений, то формула перетворюється: Р = 2а + ст. Як знайти периметр трикутника, якщо він є рівностороннім? Допоможе така: Р = 3а.
Для довільного чотирикутника: Р = а + + з + d. Його окремим випадком є квадрат, формула периметра: Р=4а. Є ще прямокутник, тоді потрібна така рівність: Р=2(а+в).
Як бути, якщо невідома довжина однієї чи кількох сторін трикутника?
Скористайтеся теоремою косінусів, якщо серед даних є дві сторони і кут між ними, який позначається буквою А. Тоді до того, як знайти периметр, доведеться порахувати третю сторону. Для цього стане в нагоді така формула: с² = а² + в² - 2 ав cos(А).
Окремим випадком зазначеної теореми є сформульована Піфагором для прямокутного трикутника. У ній значення косинуса прямого кута стає рівним нулю, отже, останній доданок просто зникає.
Бувають ситуації, коли дізнатися, як знайти периметр трикутника можна по одній стороні. Але при цьому відомі ще й кути фігури. Тут допоможе приходить теорема синусів, коли відносини довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів рівні.
У ситуації, коли периметр фігури потрібно дізнатися площею, стануть у нагоді інші формули. Наприклад, якщо відомий радіус вписаного кола, то у питанні про те, як знаходити периметр трикутника, стане в нагоді наступна формула: S = р * r, тут р - напівпериметр. Його треба вивести з цієї формули та помножити на два.
Приклади завдань
Умова першої.Дізнатися периметр трикутника, сторони якого 3, 4 і 5 см.
Рішення.Потрібно скористатися рівністю, яка зазначена вище, і просто підставити в нього дані завдання значення. Розрахунки легкі, вони призводять до 12 див.
Відповідь.Периметр трикутника дорівнює 12 див.
Умова другої.Одна сторона трикутника дорівнює 10 см. Відомо, що друга на 2 см більша за першу, а третя в 1,5 рази більша за першу. Потрібно обчислити його периметр.
Рішення. Для того, щоб його дізнатися, потрібно порахувати дві сторони. Друга визначиться як сума 10 та 2, третя дорівнює добутку 10 та 1,5. Потім залишиться лише порахувати суму трьох значень: 10, 12 та 15. Результатом буде 37 см.
Відповідь.Периметр дорівнює 37 див.
Умова третьої.Є прямокутник та квадрат. Одна сторона прямокутника дорівнює 4 см, інша на 3 см більше. Потрібно обчислити значення сторони квадрата, якщо його периметр менший на 6 см, ніж прямокутник.
Рішення.Друга сторона прямокутника дорівнює 7. Знаючи це легко обчислити його периметр. Розрахунок дає 22 см.
Щоб дізнатись бік квадрата, потрібно спочатку відняти 6 з периметра прямокутника, а потім розділити отримане число на 4. У результаті маємо число 4.
Відповідь.Сторона квадрата 4 див.
Побудова уроку:
- Організація та мотивація учнів до діяльності на уроці.
- Організація сприйняття нового матеріалу на основі наочного матеріалу
- Організація осмислення.
- Первинна перевірка розуміння нового матеріалу.
- Організація первинного закріплення та самостійний аналіз навчальної інформації.
- Застосування здобутих знань на практикумі.
Цілі уроку:
- Навчальна. Забезпечити засвоєння учнями знаходження площі та периметра геометричних фігур;
візуального сприйняття матеріалу на уроці; осмислено розуміти, що таке площу та периметр.
2. Розвиваюча. Використовувати на уроці вправи, що розвивають, активізувати
розумову діяльність школярів
3. Виховна. Забезпечити розвиток ціннісно-смислової культури учнів;
мотивації на вміння правильно досягати поставленої мети
збіг очікування та результату.
Обладнання:
- М.І.Моро та ін. "Математика" - підручник для 3 класу початкової школи, 1 частина.
- Робочий зошит з математики.
- Ручка, лінійка, простий олівець, трикутник, ножиці.
- Моделі геометричних фігур для знаходження площі.
- Над дошкою плакати з формулами знаходження площі та периметра.
Засоби навчання:
- Дидактичний матеріал.
- Наочні посібники.
Прийоми навчання:
- Порівняння предметів.
- Зіставлення методів знаходження площі однієї й тієї фігури.
Хід уроку.
1. Організаційний момент та повідомлення теми уроку.
Вчитель: Здрастуйте, хлопці. Сьогодні ми продовжимо вивчення великої теми під назвою “Площа та периметр”. Тема нашого уроку сьогодні: "Уміння застосовувати знання у знаходженні периметра та площі складної фігури".Складна фігура – це геометрична фігура, що складається з кількох найпростіших фігур. Спочатку повторимо те, що ми з вами вивчили на минулих уроках.
ІІ. Усний рахунок.
Завдання в розвитку.
Вчитель: Знайдіть площу даної фігури, якщо сторона квадрата 1 див.
Фігура зображена на дошці.
Учень: Якщо квадрат має площу 1 см 2 , а квадратів зображено 5, то площа цієї фігури дорівнює 5 см 2 .
Вчитель: Правильно. Наступне завдання. Заберіть 3 палички, щоб залишилося 3 таких квадрати.
Учень виходить до дошки та прибирає 3 палички.
Вчитель: Приберіть 4 палички, щоб залишилося 3 таких квадратів.
Учень виходить до дошки та прибирає 4 палички. Рішення.
ІІІ. Робота на тему уроку
Які геометричні фігури ви вже знаєте?
Учень: Прямокутник.
Учень: Квадрат.
Вчитель: Правильно. Що ми знаємо про квадрат?
Учень: У квадрата 4 сторони та 4 кута.
Вчитель: Правильно. Яку властивість мають сторони квадрата?
Учень: Вони рівні.
Вчитель: Правильно. А які кути біля квадрата?
Учень: Вони прямі.
За допомогою чого ми можемо побудувати прямий кут?
Учень: За допомогою трикутника.
Вчитель: Давайте побудуємо квадрат зі стороною 4 см у вашому зошиті. За допомогою яких інструментів ми креслитимемо квадрат?
Учень: За допомогою лінійки, олівця та трикутника.
Учні в зошитах будують квадрат та розфарбовують його.
Вчитель: Ця геометрична фігура. Як знайти периметр і площу цього квадрата?
Учень: Периметр – це сума всіх сторін. Сторін біля квадрата 4. Отже, 4 складемо 4 рази.
Як це записати?
Учні роблять запис у зошиті: “ Знайти площу фігури F1”.
Учня викликають до дошки, і він пише: Р = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 (см)
Учні роблять запис у зошиті.
Вчитель: У яких одиницях вимірюється периметр?
Учень: У сантиметрах, міліметрах, метрах, дециметрах, кілометрах.
Вчитель: Молодець! Як ще можна записати периметр?
Учень: За допомогою множення.
Учень записує на дошці: Р = 4 · 4 = 16 (см)
Учні записують у зошити.
Вчитель: А чому дорівнює площа квадрата?
Учень: Довжину квадрата множимо на його ширину. Оскільки сторони квадрата рівні, то
S = 4 · 4 = 16 (см 2)
Учні роблять запис у зошиті та записують - “ Відповідь: S = 16 см 2 ”.
Вчитель: Які ще одиниці виміру площі ви знаєте?
Учень: квадратний сантиметр, квадратний дециметр, квадратний метр, квадратний міліметр.
Вчитель: А тепер ускладнимо завдання. Перед вами лежить картка.
На цій картці зображений квадрат такий самий, що й у вас у зошиті. У середині цього квадрата – ще один квадрат зі стороною 2 см. Зараз ви візьмете ножиці та виріжете акуратно цей маленький квадрат.
Учні виконують цю роботу і роблять запис у зошиті: “ Знайти площу фігури F2”.
Вчитель: У нас вийшла фігура "з віконцем" - F2. Як можна знайти площу цієї цікавої постаті? Площа квадрата вже відома і дорівнює 16 см2.
Учень: Потрібно знайти площу маленького квадратика зі стороною 2 див.
Учень виходить до дошки та записує – S2 = 2 · 2 = 4 (см 2)
Учні роблять запис у зошиту
Учень: З площі великого квадратика відняти площу маленького.
Вчитель: Правильно.
Учень записує на дошці - S = S1 - S2 = 16 - 4 = 12 (див 2)
Учні роблять запис у зошиті.
Вчитель: Уважно подивіться на цю фігурку та скажіть, як ще можна виміряти площу? Чи можна цю фігуру якось розрізати, щоб отримати фігури, які вже вам знайомі?
Учні думають та говорять різні варіанти.
Один із варіантів виявився дуже цікавим.
Учень: Можна так розрізати, щоб вийшли прямокутники та показує на дошці, як це можна зробити. 
Учні розрізають фігуру, як показано на дошці.
А як знаходиться площа прямокутника?
Учень: Потрібно помножити довжину на ширину.
Вчитель: У вас вийшло чотири постаті. Що можна сказати про них?
Учень: Дві фігурки, як близнюки – однакові, а другі дві – теж однакові.
Можна знайти площу однієї фігури та помножити на 2.
Учень вирішує на дошці: S1 = 1 · 4 = 4 (см 2)
S2 = 1 · 2 = 2 (см 2)
S = 2 · S1 + 2 · S2 = 2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12 (см 2)
Вчитель: Молодець! У нас вийшло те саме значення площі, що й раніше.
Учні пишуть у зошиті – “ Відповідь: S = 12 см 2 .
Вчитель: Ви, мабуть, втомилися?
Настав час відпочивати.
Пропоную втому
Фізкультхвилинкою зняти.
IV. Фізкультхвилинка.
Щодня вранці
Робимо зарядку (ходьба на місці).
Дуже подобається нам робити по порядку:
Весело крокувати (ходьба),
Руки піднімати (руки вгору),
Присідати і вставати (присідання 4-6 разів),
Стрибати та стрибати (10 стрибків).
Вчитель:А тепер сіли за парти та
подивіться наступну модель. Фігура F3
Як знайти площу цієї цікавої постаті?
Учень: Трикутник, що виступає
можна відрізати та підставити в ту частину, де
трикутник "іде" всередину.
Вчитель: Давайте візьмемо ножиці, відріжемо трикутник і підставимо у верхню частину.
Що за постать у нас вийшла?
Учень: Прямокутник!
Вчитель: Як знайти площу цього прямокутника,
Якщо сторони нам невідомі.
Учень: Ми можемо взяти лінійку та виміряти
довжину та ширину прямокутника.
Учні роблять запис – “ Знайти площу фігури F3”.
Учні лінійкою вимірюють довжину та ширину. Виходить довжина, а = 6 см, ширина = 2 см.
Учень: Площа цієї фігури дорівнює S = 6 · 2 = 12 (см 2).
Учні роблять запис у зошиті та записують – “ Відповідь: S = 12 см 2 .
Але це ще не все. Перед вами наступна постать. Потрібно знайти її площу.
Що за постать перед вами?
Учень:Трикутник. Але площа трикутника
ми не вміємо шукати!
Вчитель: Це правда. З цього трикутника
зробимо прямокутник. Я вам підкажу. Фігура F4
Спочатку ми цей трикутник складемо навпіл
Учні: Ми зрозуміли! Праву
бік перевертаємо.
Вийде прямокутник.
Учень: За допомогою лінійки вимірюємо
довжину а і ширину, і по S = а · в,
знаходимо площу.
Вчитель: Якщо ми при вимірі, ми
отримаємо, що довжина
буде виражена в мм, а ширина в см,
що нам робити?
Учень: Обов'язково довжину та ширину перевести в одну одиницю виміру.
Учні записують у зошиті: “ Знайти площу фігури F4”.
V. Робота у парах.
Вчитель: А тепер я пропоную попрацювати у парі. Вас за партою двоє. Один учень (I варіант) знаходить периметр цієї фігури, а другий (II варіант) - площа.
Для цього накреслимо у зошиті цю фігуру. Після того, як ви виконаєте завдання, поміняєтеся зошитами та перевірте результати один у одного. 
Учні виконують завдання та результати
записують у зошит.
Вчитель: Що у вас вийшло?
Учень: Квадрат зі стороною 3 см. Р = 3 · 4 = 12 (см)
S = 3 · 3 = 9 (см 2) 3 см
Учні записують: “ Відповідь: P = 12 см, S = 9 см 2 .
Вчитель: Молодці! А тепер я пропоную вам попрацювати самостійно.
Знайти площу наступної фігури. Вона лежить перед вами.
VI. Самостійна робота із закріплення вивченого матеріалу.
Вчитель роздає заздалегідь заготовлені фігури.
Учні самостійно, без допомоги вчителя, розрізають цю фігури, одержують три прямокутники. 
Учні роблять запис: “ Знайти площу фігури F5”.
Учні знаходять S1 = 4 · 3 = 12 (см 2), S2 = 2 · 1 = 2 (см 2), потім знаходять площу даної фігури: S = S1 + S2 + S2 = 12 + 2 + 2 = 16 (см 2 ) і роблять запис у зошиті, потім
записують: “ Відповідь: S = 16 см 2 ”.
Вчитель: Сподобався урок?
Учні: Так.
Що ви нового дізналися на цьому уроці?
Учень: Ми навчилися знаходити площу та периметр складних фігур. Це виявилося дуже просто. Потрібно трохи подумати і цю фігуру перебудувати чи переробити на ту, периметр і площу, якою ми вже вміємо знаходити.
Я дуже рада, що вам сподобалося. Будинки ще раз повторити формули знаходження периметра та площі квадрата та прямокутника; згадати, як перекладати одну одиницю
до іншої. Сьогодні добре відповідали такі учні. . .
Вчитель виставляє оцінки.
VII. Домашнє завдання: підручник стор. 77 № 8.
